prof. dr hab. Jacek Cichoń

Katedra Podstaw Informatyki • WIT • Politechnika Wrocławska

Zasady zaliczania kursu

Zaliczenie tego kursu polega na otrzymaniu zaliczenia z ćwiczeń i z laboratorium. Nie ma egzaminu końcowego. Dokładne zasady zaliczania ćwiczeń zostaną ustalone tak mniej więcej po dwóch tygodniach zajęć.

Literatura

1. David A. Cox, John Little, Donal O'Shea, Ideals, Variaties, Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer, 2015
2. ...
3. Lista zadań: WZA.pdf, Uwaga: lista ta będzie się systematycznie rozszerzać.

$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\BIND{\,>\!>\!=\,} \def\IFF{\longleftrightarrow} \newcommand{\span}[1]{\mathrm{span}(#1)} \newcommand{\IS}[2]{\langle\,#1,#2\rangle} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}(#1)} \newcommand{\IDEAL}[1]{\langle\,#1\,\rangle} $

Zagadnienia omówione na wykładzie

29.02.2024: Wstęp (pierścienie)

1. Pierścienie (zakładamy, że każdy pierścień ma 1)
2. Elementy odwracalne pierścienia
3. Dziedzina całkowitości: $a\cdot b = 0 \to (a=0)\lor(b=0)$
4. Przykłady: $\ZZ$, $\ZZ[i]$ (liczby całkowite Gaussa), $K[x]$ = wielomiany o współczynnikach z ciała $K$
5. Dziedziny euklidesowe.
6. Dzielenie wielomianów z resztą
7. Pojęcie ideału w pierścieniu.
8. Ideał generowany przez zbiór $F \subseteq R$ pierścienia $\mathcal{R}=(R,+,\cdot)$: $$ \IDEAL{F} = \{\sum_{k=1}^{n} a_k \cdot f_k: n\in\NN, a_1,\ldots,a_n\in R,f_1,\ldots,f_n\in F \} $$
9. Dziedzina ideałów głównych (PID) = dziedzina całkowitości w której każdy ideał jest ideałem głównym, tzn. jest postaci $\IDEAL{\{a\}}$ dla pewnego elementu $a \in R$.
10. TW. EUCLID $\subseteq$ PID
11. Obserwacja. W PID mamy $\IDEAL{a}\cap\IDEAL{b} = \IDEAL{nww(a,b)}$ oraz $\IDEAL{a,b} = \IDEAL{nwd(a,b)}$

07.03.2024: Wielomiany

1. Uwaga o podzielności: $a|b \to \IDEAL{a} \supset\IDEAL{b}$
2. Fakt: Jeśli $a = q\cdot b + r$, to $\IDEAL{a,b} = \IDEAL{b,r}$
3. Porządek częściowy na $\NN^k$: $(x_1,\ldots,x_k) \preceq (y_1,\ldots,y_k)$ wtedy i tlko wtedy, gdy $x_1\leq y_1$, ... $x_k\leq y_k$.
4. Lemat Dicksona: Ustalmy $k\geq 1$. Niech $(p_n)_{n}$ będzie nieskończonemy ciągiem elementów $\NN^k$. Istnieje wtedy nieskończony podciąg $n_1\lt n_2 \lt n_3\lt \ldots$ taki, że $$p_{n_1} \preceq p_{n_2} \preceq p_{n_3} \preceq \ldots~.$$
5. Wniosek: Niech $k\geq 1$ oraz $A\subseteq \NN^k$. Wtedy zbiór elementów $\preceq$-minimalnych zbioru $A$ jest zbiorem skończonym.
6. Pojęcie monomialu: wyrażenie postaci $x^{\alpha} = x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \ldots x_k^{\alpha_k}$, gdzie $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k) \in \NN^k$.
7. Całkowity stopień monomialu $x^\alpha$: $|a| = \alpha_1+\ldots+\alpha_k$
8. Pojęcie wielomianu z $k[x_1,\ldots,x_k]$
9. Tw. [Algebra 1] Niech $k$ będzie ciałem liczbowym. Niech $w(x) = a_0+a_1\cdot x+ a_2\cdot x^2+\ldots a_k\cdot x^k$ będzie wielomianem z $k[x]$. Załóżmy, że jest zbiór $B\subseteq k$ takie, że $|B|\geq k+1$ oraz $$(\forall b \in B)(w(b) = 0)$$ Wtedy $a_0 = a_1 = \ldots = a_k = 0$.

14.03.2024: Wielomiany i rozmaitości algebraiczne

1. Fakt: $\IDEAL{x,y}$ nie jest ideałem głównym w $k[x,y]$
2. Tw. Niech $k$ będzie ciałem liczbowym, $w \in k[x_1,\ldots,x_m]$, $d = tdeg(W)$, $B\subseteq k$ takie, że $|B|\geq d+1$ oraz $$(\forall b \in B^m)(w(b) = 0)$$ Wtedy w=0
3. Def. Niech $\mathcal{F}\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$. Rozmaitością algebraiczną generowaną przez $\mathcal{F}$ nazywamy zbiór $$ V(\mathcal{F}) = \{a\in k^n: (\forall f\in \mathcal{F}) (f(a) = 0)\}~. $$
4. Tw. $V(\mathcal{F}\cup\mathcal{G}) = V(\mathcal{F})\cap V(\mathcal{G})$
5. Tw. $V(f_1,\ldots,f_n) \cup V(g_1,\ldots,g_m) = V(\{f_i g_j: i=1,\ldots,n,j=1\ldots,m\})$
6. Przykład: $\ZZ^2$ nie jest rozmaitością algebraiczną w $\RR^2$.

21.03.2024: Porządek monomialny (jednomianowy)

1. Tw: Niech $\mathcal{F} \subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ oraz $I = \IDEAL{\mathcal{F}}$. Wtedy $V(\mathcal{F} = V(I)$
2. Przykład: Niech $V = V(y-x^2,z-x^3)$. Wtedy $I(V) = \IDEAL{y-x^2,z-x^3}$
3. Def. Porządek $\preceq$ na $\NN^k$ nazywamy porządkiem monomialnym na $\NN^k$ jeśli
   1. $\preceq$ jest porządkiem liniowym na $\NN^k$
   2. $(\forall \alpha,\beta,\delta \in \NN^k)(\alpha\prec\beta \to \alpha+\delta\prec\beta+\delta)$
   3. $\preceq$ jest dobrym porządkiem porządkiem
4. Przykład: (porządek leksykograficzny) $\alpha\prec_{lex}\beta$ jeśli $\alpha\neq \beta$ oraz $\alpha_i\lt\beta_i$, gdzie $i=\min\{j:\alpha_j \neq \beta_j\}$
5. Przykład: (porządek graded lex): $$\alpha\preceq_{grlex}\beta \IFF (|\alpha|\lt|\beta|) \lor (|\alpha|=|\beta| \land \alpha\prec_{lex}\beta)$$
6. Tw. Załóżmy, że $\preceq$ jest liniowym porządkiem na $\NN^k$ spełniającym warunek (2) z definicji porządku monomialnego. Wtedy następujące zdania są równoważne:
   1. $\preceq$ jest dobrym porządkiem
   2. $(\forall \alpha\neq 0)(0 \prec \alpha)$