Grant: OPUS 5.
Tutaj jest próbka moich aktualnych problemów badawczych:
Wiekszość znanych algorytmów wyboru lidera zakłada, że węzły mają unikalne identyfikatory. Celem prowadzonych badań jest zastąpienie tego założenia odpowiednim losowym generowaniem identyfikatorów. Oto jeden z wyników związanych z tymi badaniami (prowadzę je wspólnie z mgr Dominikiem Bojko):
Czy teoria mnogości ZFC+ (\mathrm{add}(\mathcal{L}) = \omega_2) + (\mathrm{cof}(\mathcal{L}) = \omega_3) + (2^{\omega} = \omega_4) jest niesprzeczna?
Uwaga: Zdaje się, że problem został rozwiązany pozytywnie przez matematyków z Austrii - ale ciągle sprawdzam jego poprawność (dowód jest dosyć żmudny) [grudzień 2017].W trakcie badanie pewnych wariantów P2P protokołu Chord pojawiła się następująca rekurencja:
m_0 = 1; \quad m_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \min\{m_k,m_{n-k}\}~.Do tej pory nie znam asymptotyki tego ciągu. Podejrzewam, że
m_{n} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n^{3/2}} + O(\frac{1}{n^{2}}) dla pewnych stałych a\approx 0.28 oraz b\approx 0.32. Rafał Kapelko pokazał, że m_n = \Theta(\frac{1}{n}).Mamy danych spójny graf (V,E). Mamy daną funkcję X:V\to \mathbb{R}. Cel: opracowanie rozproszonego protokołu, który służy do wyznaczenia wartości \sum\{X(v): v\in V\}/|V|. Wartość ta powinna być znana każdemu wierzchołkowi v\in V. Znane protokoły polegają na lokalnym uśrednianiu obserwowanych wartości (coś w stylu: zastąp X_v przez średnią wartość \sum\{X_u: (v,u)\in E\}). Niektóre ze nich mają udowodnioną poprawność i zbadane jest tempo zbieżności (niektóre dowody są bardzo ładne i polegają na badaniu wartości własnych macierzy związanych z nimi). Zachowują się one dobrze dla grafów zbliżonych do grafu pełnego. Niestety, ich tempo zbieżności dla grafów zbliżonych do liniowych jest bardzo duże, co uniemożliwia stosowanie ich w praktyce.
Ostatnio badam alternatywne rozwiązanie tego zagadnienia: polega ono na zbudowaniu przybliżonego histogramu funkcji X; przybliżenie zaś polega na zastosowaniu liczników probabilistycznych opartych na zmiennych o rozkładzie wykładniczym. Aktualnie otrzymane wyniki pokazują, że algorytm działać będzie w czesie O(D), gdzie D jest średnicą grafu oraz, że osiągnąć można dowolnie dużą precyzję (kosztem złożoności komunikacyjnej). Badania te prowadzę wspólnie z mgr Karolem Gotrydem.