18.10.2018: Przestrzenie metryczne

1. Tw. (nierówność Cauchyego) Dla dowolnych ciągów liczb rzeczywistych $a_1,\ldots, a_b$ oraz $b_1,\ldots,b_n$ mamy
   $$ \left|\sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} $$
   Dowód: Rozważamy funkcję $f(x) = \sum_{k=1}^{n}(a_k - x\cdot b_k)^2$; sprawdzamy, że jest to funkcje kwadratowa; z tego, że $(\forall x)(f(x)\geq 0)$ wnioskujemy, że $\Delta\leq 0$, wyliczamy wyróżnik $\Delta$, upraszczamy i otrzymujemy tę nierówność.
2. Def (iloczyn skalarny) $\inner{\vec{x}}{\vec{y}} = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$
3. Def. (norma) $\|\vec{x}\| = \sqrt{\inner{\vec{x}}{\vec{x}}}$
4. Nierówność Cauchego wyrażona w języku iloczynu skalarnego i normy:
   $$|\inner{\vec{x}}{\vec{y}}| \leq \|\vec{x}\| \cdot \|\vec{y}\|$$
5. Def: Przestrzenią metryczną nazywamy parę $(X,d)$ taką, że $d:X\times X \to \RR$ oraz
   1. $(\forall x,y\in X)(d(x,y)\geq 0)$
   2. $(\forall x,y\in X)(d(x,y)=0 \IFF x=y)$
   3. $(\forall x,y\in X)(d(x,y)= d(y,x))$
   4. $(\forall x,y,z\in X)(d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z))$ (nierowność trójkąta)
6. Przykłady przestrzeni metrycznych:
   1. $(\RR,d)$, gdzie $d(x,y) = |x-y|$
   2. $(\RR^n,d_e)$, gdzie $d_e(\vec{x},\vec{y}) = \|x-y\|$ (metryka euklidesowa)
   3. $(\RR^2,d_1)$, gdzie $d_1((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|$
   4. $(\RR^2,d_\infty)$, gdzie $d_\infty((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \max(|x_1-y_1| , |x_2-y_2|)$
7. Def. Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $a\in X$ oraz $r \gt 0$. Kulą (otwartą) o środku w punkcie $a$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór
   $$ K(a,r) = \{x\in X: d(x,a) \lt r\} $$
8. Kulki $K((0,0),1)$ w metrykach $d_e$, $d_1$ oraz $d_\infty$ na płaszczyźnie $\RR^2$:
   

23.10.2018

Granice

1. Def. Niech $(X,d)$ będzie przetrzenią metryczną, $(a_n)_{n\in\NN}$ ciągiem elementów X oraz $g\in X$. Mówimy, że ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $g$ jeśli
   $$ (\forall \epsilon \gt 0)(\exists N)(\forall n \gt N)(d(a_n,g) \lt \epsilon) $$
2. Tw. Jeśli $g_1$ i $g_2$ są granicami ciągu $(a_n)$ to $g_1=g_2$.
   Wprowadzamy więc oznaczenie $\lim_{n\to\infty} a_n = g$.
3. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$. Liczba $g$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ jeśli $(\forall x\in A)(x \leq g)$
4. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$. Liczba $g$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ jeśli $(\forall x\in A)(x \geq g)$
5. Def. $g=\sup(A)$ jeśli $g$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru $A$.
6. Zasada Zupełności: Każdy ograniczony, niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ma supremum.
7. Oznaczenie: $sup(A)=\infty$ jeśli A nie jest ograniczony z góry.
8. Przykład: $\sup(\{x\in\mathbb{Q}: 0\leq x \land x^2\leq 2\}) = \sqrt{2}$
9. Tw. $\sup(\mathbb{N}) = \infty$
10. Wniosek: $(\forall x\in\mathbb{R})(x\gt 0 \to (\exists n\in\mathbb{N})(\frac{1}{n} \lt x))$.
11. Wniosek: $\lim_{n\to\infty} \frac1n = 0$
12. Przykład (w dowolnej przesstrzeni metrycznej) Jeśli $(\forall n \in\mathbb{N})(a_n = c)$ to $\lim_{n\to\infty} a_n = c$
13. Tw (dla $\RR$) Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ i $\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ oraz to $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \alpha+\beta$.
14. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}$ = $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n}) = \ldots = 1$.
    

29.10.2018 - Ciągi

1. Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Zbiór $B\subseteq X$ jest ograniczony, jeśli istnieją $b\in X$ oraz $r \gt 0$ takie, że $B \subseteq K(b,r)$
2. Tw (w dowolnej przestrzeni metrycznej). Jesli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny to jest ograniczny
3. Tw (dla $\RR$). $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} (a_n) \cdot \lim_{n\to\infty} (b_n)$
4. Tw (w dowolnej przestrzeni metrycznej). Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = g$ oraz $n_0\lt n_1 \lt n_2 \lt \ldots$, to $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = g$
5. Przykład: Ciąg $a_n = (-1)^n + \frac1n$ nie jest zbieżny.
6. Def (dla $\RR$). $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ jeśli $(\forall R)(\exists N)(\forall n \gt N)(a_n \gt R)$
7. Def (dla $\RR$). $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ jeśli $(\forall R)(\exists N)(\forall n \gt N)(a_n \lt R)$
8. Tw. Jeśli $(\forall n)(a_n \leq b_n)$ oraz $\lim_{n\to\infty} a_n=\infty$ to $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$
9. Zasady postępowania z nieskończonościami: $\infty+\infty = \infty$; $\infty\cdot \infty = \infty$; $c+\infty = \infty$; jeśli $c\gt 0$ to $c\cdot \infty = \infty$; jeśli $c\lt 0$ to $c\cdot \infty = -\infty$; $(-\infty)\cdot (-\infty) = \infty$;
   Uwaga: każdy z tych faktów należy odpowiednio zinterpretować; np. pierwszą własność interpretujemy następująco: jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ oraz $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$, to $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \infty$.
10. Fakt: $|x_1-y_1| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)} \leq \sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|$
11. Wniosek: Załóżmy, że $a_n = (x_n,y_n)$ jest nieskończonym ciągiem elementów $\RR^2$ oraz $(a,b)\in\RR^2$. Wtedy następujące zdania są równoważne:
    1. $\lim_{n\to\infty} a_n = (a,b)$ w przestrzeni metrycznej $(\RR^2,d_e)$
    2. $\lim_{n\to\infty} x_n = a \land \lim_{n\to\infty} y_n = b$
    Uwaga: podobny fakt jest prawdziwy dla $\RR^n$ dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 1$.
12. Przykład: $\lim_n (\frac{n^2+1}{n^2+2}, \frac{3 n+2}{2n+1}) = (1,\frac32)$
13. Tw (O trzech ciągach). Załóżmy, że $(\forall n)(a_n \leq b_n \leq c_n)$ oraz, że $\lim_{n\to\infty} a_n$ = $\lim_{n\to\infty} c_n = g$. Wtedy $\lim_{n\to\infty} b_n = g$.
    Dowód: na następnym wykładzie. Dowód: na następnym wykładzie.

07.11.2018 - Ciągi

1. Dowód twierdzenia o trzech ciągach:
   
2. Przykład: $\lim \frac{(-1)^n}{n}= 0$
3. Punkt skupienia ciągu: granica podciągu.
4. Przykład: punkty skupienia ciągu $a_n = (n\mod 3) + \frac{1}{n}$: zbiór $\{0,1,2\}$
5. Przykład: jest ciąg $(a_n)$ którego zbiorem punktów skupienia jest zbiór $[0,1]$
6. Def. Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$.
   1. Domknięcie zbioru: $\bar{A} = \{g\in X$: istnieje ciąg punktów zbioru zbieżny do $g\}$
   2. Zbiór $A$ jest domknięty jeśli $\bar{A}= A$
   3. Zbiór $A$ jest otwarty jeśli $(\forall a\in A)(\exists \epsilon>0)(K(a,\epsilon) \subseteq A)$
   4. Wnętrze zbioru: $int(A)= \{a\in A: (\exists \epsilon>0)(K(a,\epsilon)\subseteq A\}$
7. Przykłady: $\bar{\QQ} =\RR$, $\overline{\RR\setminus\QQ} = \RR$, $int(\QQ)=\emptyset$
8. Nierówność Bernouliego: dla dowolnego $x\geq -1$ oraz dowolnej liczby naturalnej $n$ mamy $(1+x)^n\geq 1+x$
9. Niech $a\in\mathbb{R}$ będzie ustaloną liczbą. Wtedy $$ \lim_{n\to\infty} a^n = \begin{cases} \infty &: a \gt 1 \\ 1 &: a=1 \\ 0 &: |a| \lt 1 \\ \mbox{nie istnieje} &: a\leq -1 \end{cases} $$
10. W dowodzie nierówności Bernouiliego skorzystaliśmy z Indukcji Matematycznej.
11. ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ: Załóżmy,że $A\subseteq \NN$, $a\in A$ oraz $$ (\forall n\in\NN)(n\in A \to n+1 \in A)~. $$ Wtedy $(\forall n\in\NN)(n\geq a \to n\in A)$.

14.11.2016

Ciągi - c.d.

1. Def. $0!= 1$, $n! = 1\cdot 2\cdot \ldots n$
2. Def. Współczynnikidwomianowe: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
3. Podstawowe własości: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$; $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
4. Wzór Pascala: $$ \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}
$$
5. Def. $[n]^k$ = liczba podzbiorów $k$-elementowych zbioru $\{1,\ldots,n\}$
6. Tw. $[n]^k = \binom{n}{k}$
   Dowód: indukcja po $n$.
7. Wniosek (Wzór dwumianowy Newtona)
   $$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} $$
8. Tw. $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$.
9. Def. Ciąg $(a_n)$ jest niemalejący (słabo rosnący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\leq a_{n+1})$
10. Definiujemy $a_n = \left(1+\frac1n\right)^n$
    1. Pokazaliśmy, że $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n \leq a_{n+1} \leq \ldots$
    2. Pokazaliśmy, że $a_n \leq 3$
    3. Udowodniliśmy następujace Twierdzenie: .Jeśli ciąg $(a_n)$ jest niemalejący i ograniczony z góry, to $\lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$.
    4. Wywnioskowaliśmy z tego, że istnieje granica $\lim_n \left(1+\frac1n\right)^n$
    
    1. Ciąg $(a_n)$ jest więc zbieżny. Jego granicę oznaczamy przez $e = 2.718281828\ldots$ (stała Eulera), czyli $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e. $$
    2. (na razie bez dowodu) $e = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (=$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}$)
    5. Dokładniej: e = 2.718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 700 ...

15.11.2018: Ciągłość

1. Przykład: Jeśli $a>0$, to $\lim_n \sqrt[n]{a} = 1$
2. Przykład: $\lim_n \left( 1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a$
3. Tw. [Weierstrass] Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny.
4. Def. Przestrzeń metryczna jest zwarta jeśli każdy nieskończony ciąg punktów tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny.
5. Wniosek. Odcinki domknięte postaci $[a,b]$ są zwarte
6. Wniosek. Zbiory postaci $[a,b]\times [c,d]$ są zwartymi podzbiorami $\RR^2$
7. Def. Niech $(X,d)$, $(Y,\rho)$ będą przestrzeniami metrycznymi, $a\in X$ oraz $f:X\to Y$. Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ jeśli
   $$ (\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(d(x,a)\lt \epsilon \to \rho(f(x),f(a))\lt\epsilon) $$
8. Tw. Funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy
   dla dowolnego ciągu $(x_n)_{n\in\NN}$ elementów przestrzeni $X$ takiego, że $\lim_n x_n = a$ mamy $\lim_n f(x_n) = f(a)$.
   Uwaga: na razie nie udowodniliśmy tego twierdzenia.
9. Przykład: funkcja $f(x) = 1+ 3x + 2x^2$ jest ciągła w dowolnym punkcie
10. Def. Funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła jeśli jest ciągła w dowolnym punkcie przestrzeni $X$.
    Zbiór wszystkich funkcji ciągłych z X do Y oznaczamy przez $C(X,Y)$
11. Wniosek: $\RR[x] \subseteq C(\RR,\RR)$
12. Wniosek. Jeśli $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ jest funkcją wymierną to $f$ jest ciągła na zbiorze $dom(f) = \{x\in\RR: g(x)\neq 0\}$.

21.11.2018: Funkcje ciągłe

1. Obserwacja: Jeśli $f:X\to Y$ jestt ciągła oraz $A\subseteq X$, to $f|_A:A\to Y$ też jest ciągła
2. Różne warianty granic dla funkcji $f:\RR\to\RR$
   1. $\lim_{x\to a+} f(x) = g$ jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ takiego, że $(\forall n)(x_n\gt a)$ oraz $\lim_{n}x_n = a$ mamy $\lim_n f(x_n) = g$
   2. $\lim_{x\to a-} f(x) = g$ jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ takiego, że $(\forall n)(x_n\lt a)$ oraz $\lim_{n}x_n = a$ mamy $\lim_n f(x_n) = g$
   3. $\lim_{x\to a} f(x) = g$ jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ takiego, że $(\forall n)(x_n\neq a)$ oraz $\lim_{n}x_n = a$ mamy $\lim_n f(x_n) = g$
   4. ...
3. WNiosek. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$, $a\in A$. Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
4. Wykres funkcji $f(x)= \frac{1}{(x-1)(x-2)}$ (kolor niebieski) oraz mianownika $m(x)=(x-1)(x-2)$ (kolor czarwony).
   
5. Heurystyka: $\frac{1}{+0} = +\infty$, $\frac{1}{-0} = -\infty$, ...
6. Tw (własność Darboux funkcji ciągłej; twierdzenia o wartości pośredniej) Jeśli $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ jest ciągła oraz $f(a)\lt 0$ oraz $f(b) \gt 0$, to istnieje $c \in (a,b)$ takie, że $f(c) = 0$
7. Przykład: Jeśli $f:[0,1]\to[0,1]$ jest ciągła, to istnieje $x\in[0,1]$ takie, że $f(x)=x$

28.11.2016, 29.11.2018: Funkcje ciągłe

1. Twierdzenie. Jeśli $f$ jest ciągła oraz $f(a)\lt y\lt f(b)$ to istnieje $c\in(a,b)$ takie, że $f(c)=y$.
2. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła na odcinku $I$ oraz różnowartościowa, to jest monotoniczna.
3. Jeśli $f:A\to B$ jest różnowartościowa oraz $B=\vec{f}(A)$, to $f^{-1}\circ f = Id_A$ oraz $ f\circ f^{-1} = Id_B$
4. Twierdzenie. Funkcja odwrotna do różnowartościowej funkcji ciągłe jest ciągła.
5. Twierdzenie. Niech $(X_1,d_1)$, $(X_2,d_2)$ $(X_3,d_3)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Niech $f:X_1\to X_2$ i $g:X_2\to X_3$. Jeśli $f$ jest ciągła w punkcie $a\in X_1$ oraz $g$ jest ciągła w punkcie $f(a)$, to funkcja $g\circ f$ jest ciągła w punkcie $a$.
6. Wykres funkcji $f(x) = \sin\left( \frac{1}{x} \right)$:
   
7. Serwis Google i Wolfram Alpha: przykłady użycia, oraz lista funkcji: google guide.
8. Przykład: dla każdego $a>0$ funkcja wykładnicza $f(x)=a^x$ jest ciągła
9. Wzór Eulera (trygonometria w jednym wzorze): $e^{it} = \cos(t) + i\sin(t)$
10. Nierówność: $0 \leq \sin(x) \leq x$ (dla $0\lt x \lt \frac{\pi}{2}$)
11. Wniosek. Funkcja $\sin$ jest ciągła w zerze; Funkcja $\cos$ jest ciągła w zerze;
12. Wniosek. Funkcja $\sin$ jest ciągła w każdym punkcjie; Funkcja $\cos$ jest ciągła w każdym punkcie.
13. Wniosek. Funkcja $f(t)= (\cos(t),\sin(t))$ jest ciągłym odwzorowaniem $f:\RR\to\RR$. To jest model ruchu po okręgu.

05.12.2018: Funkcje ciągłe

1. Tw. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
2. Tw. (Weierstrass) Jeśli $A$ jest zbiorem zwartym oraz $f:A\to\RR$ jest ciągła, to istnieje $c\in[a,b]$ takie, że $f(c) = \sup\{f(x):x\in A\}$.
   Skorzystaliśmy z tego, że każdy ograniczony ciąg ma podciąg zbieżny.
   

Pochodne

1. Definicja
   $$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
   
   Przyjrzyj się apletowi: Pochodna
2. Przykład: $(x^2)'=2 x$
3. Przykład: $(a)'=0$
4. Przykład: $(x^n)'=nx^{n-1}$ ($n\in\NN$) [uwaga: skorzystaliśmy ze wzoru dwumianowego Newtona]
5. Fakt: $f'(x) = g$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja $\eta$ taka, że $\lim_{h\to 0} \eta(h)=0$ oraz $$ f(x+h) = f(x) + g\cdot h + \eta(h)\cdot h. $$
6. Tw. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $c$ to jest ciągła w punkcie $c$.
7. Przykład: funkcja $f(x) = |x|$ nie jest różniczkowalna w punkcie $0$
8. Tw. $(a f(x))' = af'(x)$
9. Tw. Załóżmy, że $f$ i $g$ są różniczkowalne w punkcie $x$, to
   1. $(a f(x))' = af'(x)$
   2. $(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)$
   3. $(f(x)\cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$
   4. $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
   Szkic dowodu (3): $f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$ = $(f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x)) + (f(x+h)g(x)-f(x)g(x))$, a dalej korzystamy z tego, że różniczkowalność implikuje ciągłość.
   Szkic dowodu (4): $\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}$ = $\frac{f(x)-f(x+h)}{f(x+h)f(x)}$ ...
10. Wniosek: Wszystkie funkcje wymierne są różniczkowalne.
11. Tw (Rolle'a). Załóżmy, że $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła, $f(a)=f(b) = 0$ oraz, że jest różniczkowalna w $(a,b)$. Istnieje wtedy $c \in (a,b)$ takie, że $f'(c) = 0$.

12.12.2018, 13.12.2018: Różniczkowanie

1. Tw. (Lagrange) Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i rózniczkowalna w $(a,b)$, to istnieje $c\in (a,b)$ takie, że $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)~.$$
2. Wniosek: Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i $(\forall x\in (a,b))f'(x)\gt 0$, to $f$ jest rosnąca na $[a,b]$.
3. Wniosek: Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i $(\forall x\in (a,b))f'(x)\lt 0$, to $f$ jest malejąca na $[a,b]$.
4. Wniosek: Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i $(\forall x\in (a,b))f'(x)=0$, to $f$ jest stała na $[a,b]$.
5. Przykład: Jeśli $f(t)$ = $\frac12 a t^2 + b t + c$, to $f'(t) = ax + b$ (prędkość) oraz $f''(t) = a$ (przyśpieszenie).
6. Przykład: analiza przebiegu zmienności funkcji $f(x) = \frac{x^2}{(x-1)(x-2)}$
7. Tw. $\sin'(x) = \cos(x)$
8. Wniosek: $\cos'(x) = -\sin(x)$
9. Ruch po okręgu: $f(t) = R(\cos(\omega t), \sin(\omega t))$;
   1. $f'(t) = R\omega (-\sin(\omega t), \cos(\omega t))$
   2. Wniosek: $\inner{f'(t)}{f(t)} = 0$ (czyli: prędkość jest prostopadła do promienia)
   3. $f''(t) = -R\omega^2 (\cos(\omega t), \sin(\omega t))$
   4. Wniosek: $f''(t) = - \omega^2 f(t)$ (czyli: przyśpieszenie jest skierowane do środka okręgu)
10. Def. $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $c$ jeśli istnieje $\varepsilon \gt 0$ takie, że $(\forall x)(|x-c| \lt \varepsilon \to f(x)\leq f(c))$.
11. Def. $f$ ma minimum lokalne w punkcie $c$ jeśli istnieje $\varepsilon \gt 0$ takie, że $(\forall x)(|x-c| \lt \varepsilon \to f(x)\geq f(c))$.
12. Ekstremum lokalne $\equiv$ lokalne minimum lub lokalne maksimum.
13. Tw. Jeśli $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $c$ oraz jest różniczkowalna w punkcie $c$ to $f'(c)=0$
14. Tw. $(e^x)' = e^x$
15. Rozpad promieniotwórczy: rozwiązania równania różniczkowego $x'(t)= -\lambda x(t)$ są postaci $x(t) = x(0)e^{-\lambda t}$
16. Tw. Jeśli $f:(a,b)\to \RR$ jest różniczkowalna i monotoniczna, to funkcja $f^{-1}$ też jest różniczkowalna oraz
    $$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$
17. Def. $\ln(x) = \exp^{-1}(x)$
18. Wniosek: $\ln'(x) = \frac1x$
19. Def. $\arctan = \left(\tan|(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\right)^{-1}$
20. Wniosek: $\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
21. Def. $\arcsin = \left(\sin|(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\right)^{-1}$
22. Wniosek: $\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• KONIECZNIE ZAJRZYJ NA STRONĘ www.derivative-calculator.net i nauczyć się korzystać z tej strony.
• KONIECZNIE ZAJRZYJ NA STRONĘ Badanie funkcji i sprawdź, czy potrafisz samodzielnie przeliczyć przykłady z tej strony

19.12.2018: Wstęp do całkowania

1. Dla $f:[a,b] \to [0,+\infty)$ rozważamy zbiór $S_{f,a,b} = \{(x,y): x\in [a,b]\land 0\leq y \leq f(x)\}$. Pole tego zbioru nazywamy całką (oznaczoną) funkcji na odcinku $[a,b]$ i oznaczamy je przez $\int_{[a,b]} f$ bądź $\int_a^b f(x) dx$. Zakładamy następujące własności całki:
   1. $\inf\{f(x): x\in[a,b]\}\cdot(b-a) \leq \int_{[a,b]}f \leq \sup\{f(x): x\in[a,b]\}\cdot(b-a)$
   2. Jeśli $a\leq b\leq c$ to $\int_{[a,c]}f = \int_{[a,b]} f + \int_{[b,c]}$
   Uwaga: koniecznie zrób rysunki ilustrujące te własności.
   Uwaga: później omówimy sobie dokładną metodę zdefiniowania tego pojecia
2. Lemat. Załóżmy, że $f:[a,b]\to \RR$ jest ciągłą. Wtedy istnieje $c\in (a,b)$ takie, że $$ \frac{1}{b-a}\int\limits_{[a,b]} f =f(c) $$ Uwaga: jest to prosty wniosek z Twierdzenia o wartości pośredniej (dla funkcji ciągłych).
3. ZASADNICZE TWIERDZENIE RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO i CAŁKOWEGO. Załóżmy, że $f:[a,b]\to \RR$ jest ciągła. Wtedy
   $$ \frac{d}{dx} \int\limits_{a}^{x} f(t) dt = f(x) $$
4. Def. Funkcją pierwotną funkcji $f$ nazywamy taką funkcję $F$, że $F'(x) = f(x)$.
5. Obserwacja. Jeśli $F$ i $G$ są funkcjami pierwotnymi funkcji $f$ na odcinku $[a,b]$, to istnieje stała $c$ taka, że $F = G+ c$
6. Terminologia i oznaczenia: funkcję pierwotną funkcji $f$ nazywamy całką nieoznaczoną funkcji $f$ i oznaczamy ją $\int f(x) dx$
7. Załóżmy, że $F$ jest funkcją pierwotną funkcji $f$ na $[a,b]$. Wtedy
   $$ \frac{d}{dx} \int\limits_{a}^{x} f(t) dt = F(b) - F(a) $$
8. Przykład: $\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac13$

09-10.01.2019: Całki

1. Całkowanie przez części: $\int f'g dx = f g - \int f g' dx$
2. Całkowanie przez podstawienie: $\int f(u)du = \int f(u(x))u'(x) dx$
3. Całkowanie funkcji wymiernych
4. Całkowanie funkcji trygonometrycznych przez uniwersalne podtawienie $t = \tan(\frac{x}{2})$

16.01.2019: Całki

1. Pojęcie całki Riemana: podział, całka dolna, całka górna, całka.
2. Funkcja która nie jest całkowalna według Riemana.
3. Wzór Taylora: Jeśli $f$ jest $n+1$ razy różniczkowalna, to
   $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$ dla pewnego $\theta \in(0,1)$.
4. Twierdzenie:
   $$ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $$
5. $\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
6. $\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$
7. Twierdzenie:
   $$ e^{it} = \cos(t)+ i \sin(t) $$

23-24.01.2019: Zastosowaniawzoru Taylora

1. Tw. Jeśli $f$ ma ciągłą pochodną, $f'(a)=0$ i $f'(a)>0$ to funkcja $f$ ma lokalne minimum w punkcie $a$
2. Pojęcie zbioru wypukłego i funkcji wypukłej i wklęsłej na odcinku
3. Tw. Jeśli $f''(x)>0$ dla każdego $x\in I$, to funkcja $f$ jest wypukła na odcinku $I$
4. Nierówność Jensena
5. Jeśli $x_1,\ldots,x_n>0$ to $$ \sqrt[n]{x_1\cdot \cdots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} $$