W1(06.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

1. Przykłady przestrzeni metrycznych
2. Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu
   • $int(A) = \bigcup\{U: U \in \text{OPEN} \land U\subseteq A\}$
   • $int(int(A)) = int(A)$
   • $int(A\cap B) = int(A) \cap int(B)$
   • $int(A)\cup int(B) \subseteq int(A\cup B)$
   • $cl(A) = X\setminus int(X\setminus A)$
3. Pojęcie przestrzeni topologicznej

W2(13.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

1. Baza przestrzeni topologicznej. Waga przestrzeni. II aksjomat przeliczalności.
2. Zbiory gęste, przestrzenie ośrodkowe.
3. Tw. Jeśli przestrzeń spełnia II aksjomat przeliczalności, to jest ośrodkowa.
4. Przekład: linia Sorgenfrey'a (strzałka)
5. Definicja funkcji ciągłej w punkcie
6. Definicja funkcji ciągłej: $(\forall U \in \mathcal{O}_Y)(f^{-1}[U] \in \mathcal{O}_X)$
7. Logika modalna S4

W3 (20.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

W4 (27.03.2025): Zupełność

1. Ciągi Cauchy'ego. Przestrzeń metryczna zupełna.
2. Twierdzenie o przedłużaniu funkcji jednostajnie ciągłych o wartościach w przestrzeni zupełnej z gęstego podzbioru na całą przestrzeń.
3. Definicja jednostajnej zbieżności.
4. Tw: Jeśli $(f_n)_n$ są ciągłe i $f_n \rightrightarrows g$, to $g$ jest ciągła.
5. Tw. Jeśli $Y$ jest zupełna, to $CB(T,Y)$ jest zupełna, gdzie $CB(T,Y)$ to przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych z $T$ w $Y$ z metryką $d_{sup}$.
6. Dla przestrzeni metrycznej $(X,d)$, ustalonego $a \in X$ oraz $p \in X$ określamy $f_p(x) = d(x,p) - d(p,a)$. Wtedy funkcja $\phi(p) = f_p$ jest izometrycznym zanurzeniem $(X,d)$ w $CB(X,\RR)$.
7. Wniosek. Każdą przestrzeń metryczna można zanurzyć gęsto w przestrzeń zupełną.
8. Przykłady: sinus topologiczny;
   $C([0,1],\RR),d_r)$, gdzie $d_r(f,g) = \int_0^1 |f(x)-g(x)| dx$.

W5 (03.04.2025): Zupełność

1. Całka na uzupełnieniu przestrzeni $C([0,1],\RR),d_r)$.
2. Zbieżność w przeliczalnym produkcie przestrzeni metrycznych.
3. Topologia produktowa (Tichonowa).
4. Pojęcie podbazy przestrzeni topologicznej.
5. Zgodność topologii produktowej z metryką produktową przeliczalnego produktu przestrzeni metrycznych.

W6 (10.04.2025): Twierdzenie Baire'a

1. Tw. Załóżmy, że przestrzeń topologiczna $T$ ma bazę mocy $\kappa$. Niech $\mathcal{S}$ będzie rodziną zbiorów otwartych. Istnieje wtedy podrodzina $\mathcal{S}' \subseteq \mathcal{S}$ taka, że $|\mathcal{S}'| \leq \kappa$ oraz $\bigcup\mathcal{S}' = \bigcup \mathcal{S}$.
2. Twierdzenie Cantora
3. Zbiory nigdzie gęste.
4. Zbiory pierwszej kategorii.
5. Tw (Baire). Przestrzeń zupełna nie jest zbiorem pierwszej kategorii.
6. Wniosek. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

W8 (28.04.2025): Zastosowania twierdzenie Baire'a i pojęcie spójności

1. Przykład: Załóżmy, że $f:[0,\infty) \to \RR$ ma następującą własność \[ (\forall x\geq 0)( \lim_{n\to\infty} f(n\cdot x) = 0 ) ~.\] Wtedy $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$.
2. Tw. Zbiór \[ \{f\in C([0,1]): (\exists x\in [0,1])(\exists f'(x))\} \] jest zbiorem pierwszej kategorii w $C([0,1])$.
3. Def. Przestrzeń $X$ jest spójna jeśli nie istnieją zbiory otwarte $U, V \subseteq X$ takie, że $U\cup V = X$ oraz $U\cap V = \emptyset$.
4. Charakteryzacja podzbiorów spójnych $\RR$.

W9 (08.05.2025): Spójność

1. Tw. Jeśli $X$ jest spójna oraz $f:X\to Y$ jest ciągła, to $f(X)$ jest spójne.
2. Wniosek: własność Darboux funkcji ciągłych z $\RR$ w $\RR$
3. Def. Zbiory $A,B$ są rozdzielone ($A \perp B$) jeśli $(\CLO{A}\cap B)\cup(A\cap\CLO{B}) = \emptyset$
4. Fakt: $X$ jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych $A,B\subseteq X$ jeśli $A\cup B = X$ oraz $A\perp B$ to $A=\emptyset$ lub $B=\emptyset$.
5. Własności relacji $\perp$
6. Tw. Jeśli $X,Y$ są spójne, to $X\times Y$ jest spójne.
7. Tw. Jeśli $(X_t)_{t\in T}$ są spójne to $\prod_{t\in T} X_t$ jest spójna.
8. Tw. Łukowa spójność implikuje spójność.
9. Fakt: Sinus topologiczny jest spójny, ale nie jest łukowo spójny (zadanie).