Wykład przeznaczony jest dla studentów II stopnia Informatyki Algorytmicznej.
Odbywa się w czwartki w godz. - w sali 34 w budynku C-4.
Na stronie tej znajdziesz informacje o zasadach zaliczenia, literaturze, realizowanym materiale oraz listę zadań.
Literatura
Podstawowa
K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN,
W. A. Sutherland, Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford University Press,
J. C. Oxtoby, Measure and Topology, Springer-Verlag,
Na ćwiczeniach będzie mieli dwa kolokwia.
$
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\QQ{\mathbb{Q}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\IFF{\leftrightarrow}
\newcommand{\span}[1]{\mathrm{span}(#1)}
\newcommand{\IS}[2]{\langle\,#1,#2\rangle}
\newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}(#1)}
$
Zagadnienia omówione na wykładzie
W1(06.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne
Przykłady przestrzeni metrycznych
Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu
$int(A) = \bigcup\{U: U \in \text{OPEN} \land U\subseteq A\}$
$int(int(A)) = int(A)$
$int(A\cap B) = int(A) \cap int(B)$
$int(A)\cup int(B) \subseteq int(A\cup B)$
$cl(A) = X\setminus int(X\setminus A)$
Pojęcie przestrzeni topologicznej
W2(13.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne
Baza przestrzeni topologicznej. Waga przestrzeni. II aksjomat przeliczalności.
Zbiory gęste, przestrzenie ośrodkowe.
Tw. Jeśli przestrzeń spełnia II aksjomat przeliczalności, to jest ośrodkowa.
Przekład: linia Sorgenfrey'a (strzałka)
Definicja funkcji ciągłej w punkcie
Definicja funkcji ciągłej: $(\forall U \in \mathcal{O}_Y)(f^{-1}[U] \in \mathcal{O}_X)$
Logika modalna S4
W3 (20.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne
W4 (27.03.2025): Zupełność
Ciągi Cauchy'ego. Przestrzeń metryczna zupełna.
Twierdzenie o przedłużaniu funkcji jednostajnie ciągłych o wartościach w przestrzeni zupełnej z gęstego podzbioru na całą przestrzeń.
Definicja jednostajnej zbieżności.
Tw: Jeśli $(f_n)_n$ są ciągłe i $f_n \rightrightarrows g$, to $g$ jest ciągła.
Tw. Jeśli $Y$ jest zupełna, to $CB(T,Y)$ jest zupełna,
gdzie $CB(T,Y)$ to przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych z $T$ w $Y$ z metryką $d_{sup}$.
Dla przestrzeni metrycznej $(X,d)$, ustalonego $a \in X$ oraz $p \in X$ określamy
$f_p(x) = d(x,p) - d(p,a)$. Wtedy funkcja
$\phi(p) = f_p$ jest izometrycznym zanurzeniem $(X,d)$ w $CB(X,\RR)$.
Wniosek. Każdą przestrzeń metryczna można zanurzyć gęsto w przestrzeń zupełną.
Przykłady: sinus topologiczny; $C([0,1],\RR),d_r)$, gdzie
$d_r(f,g) = \int_0^1 |f(x)-g(x)| dx$.
W5 (03.04.2025): Zupełność
Całka na uzupełnieniu przestrzeni $C([0,1],\RR),d_r)$.
Zbieżność w przeliczalnym produkcie przestrzeni metrycznych.
Topologia produktowa (Tichonowa).
Pojęcie podbazy przestrzeni topologicznej.
Zgodność topologii produktowej z metryką produktową przeliczalnego produktu przestrzeni metrycznych.
W5 (10.04.2025): Twierdzenie Baire'a
Tw. Załóżmy, że przestrzeń topologiczna $T$ ma bazę mocy $\kappa$. Niech $\mathcal{S}$ będzie rodziną zbiorów otwartych. Istnieje wtedy podrodzina $\mathcal{S}' \subseteq \mathcal{S}$ taka, że $|\mathcal{S}'| \leq \kappa$ oraz
$\bigcup\mathcal{S}' = \bigcup \mathcal{S}$.
Twierdzenie Cantora
Zbiory nigdzie gęste.
Zbiory pierwszej kategorii.
Tw (Baire). Przestrzeń zupełna nie jest zbiorem pierwszej kategorii.
Wniosek. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.