Strona główna Moje zajęcia

2024/25 (lato):Wstęp do Topologii

Wykład przeznaczony jest dla studentów II stopnia Informatyki Algorytmicznej. Odbywa się w czwartki w godz. - w sali 34 w budynku C-4. Na stronie tej znajdziesz informacje o zasadach zaliczenia, literaturze, realizowanym materiale oraz listę zadań.

Literatura

Zasady zaliczania kursu

Na ćwiczeniach będzie mieli dwa kolokwia.
$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\IFF{\leftrightarrow} \newcommand{\span}[1]{\mathrm{span}(#1)} \newcommand{\IS}[2]{\langle\,#1,#2\rangle} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}(#1)} $

Zagadnienia omówione na wykładzie

W1(06.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

  1. Przykłady przestrzeni metrycznych
  2. Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu
    • $int(A) = \bigcup\{U: U \in \text{OPEN} \land U\subseteq A\}$
    • $int(int(A)) = int(A)$
    • $int(A\cap B) = int(A) \cap int(B)$
    • $int(A)\cup int(B) \subseteq int(A\cup B)$
    • $cl(A) = X\setminus int(X\setminus A)$
  3. Pojęcie przestrzeni topologicznej

W2(13.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

  1. Baza przestrzeni topologicznej. Waga przestrzeni. II aksjomat przeliczalności.
  2. Zbiory gęste, przestrzenie ośrodkowe.
  3. Tw. Jeśli przestrzeń spełnia II aksjomat przeliczalności, to jest ośrodkowa.
  4. Przekład: linia Sorgenfrey'a (strzałka)
  5. Definicja funkcji ciągłej w punkcie
  6. Definicja funkcji ciągłej: $(\forall U \in \mathcal{O}_Y)(f^{-1}[U] \in \mathcal{O}_X)$
  7. Logika modalna S4

W3 (20.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

W4 (27.03.2025): Zupełność

  1. Ciągi Cauchy'ego. Przestrzeń metryczna zupełna.
  2. Twierdzenie o przedłużaniu funkcji jednostajnie ciągłych o wartościach w przestrzeni zupełnej z gęstego podzbioru na całą przestrzeń.
  3. Definicja jednastajnej zbieżności.
  4. Tw: Jeśli $(f_n)_n$ są ciągłe i $f_n \rightrightarrows g$, to $g$ jest ciągła.
  5. Tw. Jeśli $Y$ jest zupełna, to $CB(T,Y)$ jest zupełna, gdzie $CB(T,Y)$ to przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych z $T$ w $Y$ z metryką $d_{sup}$.
  6. Dla przestrzeni metrycznej $(X,d)$, ustalonego $a \in X$ oraz $p \in X$ określamy $f_p(x) = d(x,p) - d(p,a)$. Wtedy funkcja $\phi(p) = f_p$ jest izometrycznym zanurzeniem $(X,d)$ w $CB(X,\RR)$.
  7. Wniosek. Każdą przestrzeń metryczna można zanurzyć gęsto w przestrzeń zupełną.
  8. Przykłady: sinus topologiczny;
    $C([0,1],\RR),d_r)$, gdzie $d_r(f,g) = \int_0^1 |f(x)-g(x)| dx$.
Strona główna Moje zajęcia