Kilka moich Twierdzeń

Twierdzenie Czterech Polaków (Four Poles Theorem)

L. Bukovsky pokazał, że dla każdego rozbicia prostej rzeczywistej na zbiory miary zero (pierwszej kategorii Baire'a) istnieje podrodzina o niemierzalnej (bez własności Baire'a) sumie. Jego dowód był piękny, ale stosunkowo zaawansowany - używał techniki 'generic ultrapower'. Twierdzenie Czterech Polaków jest silnym wzmocnieniem twierdzenia Bukovskiego i ma prosty oraz dosyć elementarny dowód.

Rodzina borelowskich podzbiorów przestrzeni topologicznej $X$ oznaczana jest przez $\mathcal{B}(X)$. Mówimy, że ideał $I$ podzbiorów przestrzeni topologicznej $X$ ma bazę borelowską jeśli $(\forall X\in I)(\exists Y\in I \cap \mathcal{B}(X))(X \subseteq Y)$. Jeśli $\mathcal{S}$ jest ciałem zbiorów oraz $I$ jest ideałem, to przez $\mathcal{S}(I)$ oznaczamy najmniejsze ciało zbiorów zawierające $\mathcal{S} \cup I$. Rodzina zbiorów $\mathcal{A}$ jest punktowo-skończona jeśli $(\forall x)(|\{X\in\mathcal{A}:x \in X\}| \lt \aleph_0)$.

Twierdzenie [J. Brzuchowski, J. Cichoń, E. Grzegorek, C. Ryll-Nardzewski] Załóżmy, że $I$ jest właściwym $\sigma$-ideałem podzbiorów polskiej przestrzeni topologicznej $X$ z bazą borelowską. Niech $\mathcal{A} \subseteq I$ będzie punktowo-skończoną rodziną taką, że $\bigcup \mathcal{A} = X$. Istnieje wtedy podrodzina $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ taka, że $\bigcup \mathcal{B} \notin \mathcal{B}(X)(I)$.

Mój Diagram

Następujące nierówności, zaznaczone za pomocą strzałek, są prawdziwe w teorii ZFC:

$$ \begin{array}{ccccccccccc} & & {\rm cov}({\mathcal L}) & \rightarrow & {\rm non}({\mathcal K}) & \rightarrow & {\rm cof}({\mathcal K}) & \rightarrow & {\rm cof}({\mathcal L}) & \rightarrow & 2^{\aleph_0} \\ & & & & \uparrow & & \uparrow & & & & \\ & & \uparrow & &{\mathfrak b} & \rightarrow & {\mathfrak d} & \ & \uparrow & & \\ & & & &\uparrow & & \uparrow & & & & \\ \aleph_1 & \rightarrow & {\rm add}({\mathcal L}) & \rightarrow &{\rm add}({\mathcal K}) & \rightarrow & {\rm cov}({\mathcal K}) & \rightarrow &{\rm non}({\mathcal L}) & & \end{array} $$

gdzie $\mathcal{K}$ oznacza $\sigma$-ideał podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$ pierwszej kategorii Baire'a, $\mathcal{L}$ oznacza $\sigma$-ideał podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$ miary Lebesgue'a zero oraz

$\mathrm{add}(I)$ = $\min\{|A|: A \subseteq I \land \bigcup A \notin I\}$
$\mathrm{non}(I)$ = $\min\{|X|: X \subseteq \mathbb{R} \land X \notin I\}$
$\mathrm{cov}(I)$ = $\min\{|A|: A \subseteq I \land \bigcup A = \mathbb{R}\}$
$\mathrm{cof}(I)$ = $\min\{|A|: A \subseteq I \land (\forall X\in I)(\exists Y\in A)(X \subseteq Y)\}$
$\mathfrak{b}$ = $\min\{|X|: X \subseteq \omega^\omega \land \neg(\exists g\in \omega^\omega)(\forall f\in X)(f \leq^* g)\}$
$\mathfrak{d}$ = $\min\{|X|: X \subseteq \omega^\omega \land (\forall g\in \omega^\omega)(\exists f\in X)(g \leq^* f)\}$

($\omega$ oznacza tutaj zbiór liczb naturalnych zaś $f \leq^* g$ oznacza, że $(\exists n \in \omega)(\forall k>n)(f(k) \leq g(k))$).
Ponadto:

$$ \mathrm{add}(\mathcal{K}) = \min\{\mathfrak{b}, \mathrm{cov}(\mathcal{K})\}, \quad \mathrm{cof}(\mathcal{K}) = \max\{\mathfrak{d}, \mathrm{non}(\mathcal{K})\} $$

Diagram ten zawiera serię dwunastu twierdzeń udowodnionych przez A. Millera, F. Galvina, T. Bartoszyńskiego o raz przez mnie. Nazwę "Cichoń's Diagram" wymyślił David Fremlin. W trakcie tworzenia diagramu intensywnie współpracowałem z Januszem Pawlikowskim oraz Tasosem Kamburelisem.

Żadne inne związki pomiędzy powyższymi współczynnikami nie zachodzą. Pokazane to zostało przez R. Solovaya, R. Lavera, S. Shelaha oraz prze mnie: w tym celu, za pomocą technik forcingowych, zostało skonstruowanych 21 odpowiednich modeli teorii mnogości.

Addytywność ideału Mokobodzkiego (Additivity of Mokobodzki's ideal)

Ideał Mokobodzkiego jest zdefiniowany następująco: $$\mathcal{M} = \{X\subseteq \mathbb{R}^2: (\forall \epsilon>0)(\exists U \subseteq \mathbb{R}^2)(U \mbox{ is open } \land (\forall x)(\lambda(U_x)<\epsilon))\}~,$$ gdzie $U_x = \{y:(x,y)\in U\}$ oraz $\lambda$ jest miarą Lebesque'a.

Twierdzenie [J. Cichoń, J. Pawlikowski] $\mathrm{add}(\mathcal{M}) = \aleph_1$.

Równoważność dwóch definicji ciągłości

Niech $AC_{\omega}(\mathbb{R})$ oznacza następującą wersję Aksjomatu Wyboru: dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\omega}$ niepustych podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$ istnieje funkcja $f:\omega\to\mathbb{R}$ taka, że $(\forall n\in\omega)(f(n)\in A_n)$.
Niech $CC(f,a)$ oznacza zdanie "funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ w sensie Cauchy'ego".
Niech $HC(f,a)$ oznacza zdanie "funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ w sensie Heine'go".

Twierdzenie [J. Cichoń] Następujące zdania są równoważne w teorii ZF:

$AC_{\omega}(\mathbb{R})$
$(\forall f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}})(\forall a\in \mathbb{R})(CC(f,a) \equiv HC(F,a))$

Obraz kuli jednostkowej

Prosta rzeczywista $\mathbb{R}$ i płaszczyzna $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ rozważane jako przestrzenie liniowe nad ciałem liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ są izomorficzne.

Twierdzenie [J. Cichoń, P. Szczepaniak] Niech $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ będzie izomorfizmem liniowym nad ciałem $\mathbb{Q}$. Wtedy $f[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \lt 1\}]$ jest zbiorem całkowicie niemierzalnym w sensie Lebesgue'a.

Semigrupa odwzorowań ciągłych przestrzeni Baire'a

Niech $\mathcal{N}$ oznacza standardową przestrzeń Baire'a (nieskończonych ciągów liczb naturalych).
Niech $\mathcal{C}$ oznacza semigrupę funkcji ciągłych z $\mathcal{N}$ w $\mathcal{N}$ (działaniem jest złożenie funkcji).
Niech $\mathcal{L}$ oznacza rodzinę funkcji Lipschitz'a z $\mathcal{N}$ w $\mathcal{N}$.
Niech $rank(\mathcal{C}:\mathcal{L})$ oznacza minimalną moc takiego zbioru funkcji $X\subseteq \mathcal{C}$, że zbiór $\mathcal{L} \cup X$ generuje $\mathcal{C}$.

Twierdzenie [J. Cichoń, J. D. Mitchell, M. Morayne] $rank(\mathcal{C}:\mathcal{L}) = \aleph_1$

Delta metoda (Delta Method)

Delta metoda, opracowana przez H. Cramera, może być w znacznym zakresie zautomatyzowana i dawać precyzyjne wyniki o asymptotyce momentów zmiennych losowych. Oto jeden z przykladów otrzymanych wyników (Analco13, New Orlean, 2013):

Twierdzenie [J. Cichoń, Z. Gołębiewski, M. Kardas, M. Klonowski] Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowych Bin(n,p), to jej entropia wyraża się wzorem $$ \log(\sqrt{2\pi n e p q})+\frac{1}{12 n}\left(4-\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)~,$$ gdzie q=1-p.

Mój klucz publiczny

---- BEGIN SSH2 PUBLIC KEY ----
Comment: "rsa-key-20141011"
AAAAB3NzaC1yc2EAAAABJQAAAQEAjexBv4Cj3vLdTI2Uo0WsVYitWB+02U74AFhw
9RCYlIm0H8w+T9Z/Wr6FT6wlo8NIkEFwDe1R0kNoMBKXiCTj3vVbm4g400pmUdn6
ras+/59JR3cKTzezx0b7vm4tPV4wudLeYzDILOl7ynovgaUkPKiYTyxCXRa4ywiy
SeP/uh0SNIGtmcrbToyk++kEGhCqvJQqymaMhtGzC4wGrXvG+9SNLNhuEzy7RZu3
YSq+MxTU8K9Q8d9aBUDjPYbx96APCUmc1wLZCjbcyztfWiymCFmudQ7Ykz6CBqF+
66gHmZBbVL1HIsXO7Q2TXB8XyeUS1S8i/69nZV+QuaEZUPyU4Q==
---- END SSH2 PUBLIC KEY ----