prof. dr hab. Jacek Cichoń

Katedra Podstaw Informatyki WIT Politechnika Wrocławska

Kilka moich Twierdzeń

Twierdzenie Czterech Polaków (Four Poles Theorem)

L. Bukovsky pokazał, że dla każdego rozbicia prostej rzeczywistej na zbiory miary zero (pierwszej kategorii Baire'a) istnieje podrodzina o niemierzalnej (bez własności Baire'a) sumie. Jego dowód był piękny, ale stosunkowo zaawansowany - używał techniki 'generic ultrapower'. Twierdzenie Czterech Polaków jest silnym wzmocnieniem twierdzenia Bukovskiego i ma prosty oraz dosyć elementarny dowód.

Rodzina borelowskich podzbiorów przestrzeni topologicznej $X$ oznaczana jest przez $\mathcal{B}(X)$. Mówimy, że ideał $I$ podzbiorów przestrzeni topologicznej $X$ ma bazę borelowską jeśli $(\forall X\in I)(\exists Y\in I \cap \mathcal{B}(X))(X \subseteq Y)$. Jeśli $\mathcal{S}$ jest ciałem zbiorów oraz $I$ jest ideałem, to przez $\mathcal{S}(I)$ oznaczamy najmniejsze ciało zbiorów zawierające $\mathcal{S} \cup I$. Rodzina zbiorów $\mathcal{A}$ jest punktowo-skończona jeśli $(\forall x)(|\{X\in\mathcal{A}:x \in X\}| \lt \aleph_0)$.

Twierdzenie [J. Brzuchowski, J. Cichoń, E. Grzegorek, C. Ryll-Nardzewski] Załóżmy, że $I$ jest właściwym $\sigma$-ideałem podzbiorów polskiej przestrzeni topologicznej $X$ z bazą borelowską. Niech $\mathcal{A} \subseteq I$ będzie punktowo-skończoną rodziną taką, że $\bigcup \mathcal{A} = X$. Istnieje wtedy podrodzina $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ taka, że $\bigcup \mathcal{B} \notin \mathcal{B}(X)(I)$.

Mój Diagram

Następujące nierówności, zaznaczone za pomocą strzałek, są prawdziwe w teorii ZFC:

$$ \begin{array}{ccccccccccc} & & {\rm cov}({\mathcal L}) & \rightarrow & {\rm non}({\mathcal K}) & \rightarrow & {\rm cof}({\mathcal K}) & \rightarrow & {\rm cof}({\mathcal L}) & \rightarrow & 2^{\aleph_0} \\ & & & & \uparrow & & \uparrow & & & & \\ & & \uparrow & &{\mathfrak b} & \rightarrow & {\mathfrak d} & \ & \uparrow & & \\ & & & &\uparrow & & \uparrow & & & & \\ \aleph_1 & \rightarrow & {\rm add}({\mathcal L}) & \rightarrow &{\rm add}({\mathcal K}) & \rightarrow & {\rm cov}({\mathcal K}) & \rightarrow &{\rm non}({\mathcal L}) & & \end{array} $$

gdzie $\mathcal{K}$ oznacza $\sigma$-ideał podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$ pierwszej kategorii Baire'a, $\mathcal{L}$ oznacza $\sigma$-ideał podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$ miary Lebesgue'a zero oraz

$\mathrm{add}(I)$ = $\min\{|A|: A \subseteq I \land \bigcup A \notin I\}$
$\mathrm{non}(I)$ = $\min\{|X|: X \subseteq \mathbb{R} \land X \notin I\}$
$\mathrm{cov}(I)$ = $\min\{|A|: A \subseteq I \land \bigcup A = \mathbb{R}\}$
$\mathrm{cof}(I)$ = $\min\{|A|: A \subseteq I \land (\forall X\in I)(\exists Y\in A)(X \subseteq Y)\}$
$\mathfrak{b}$ = $\min\{|X|: X \subseteq \omega^\omega \land \neg(\exists g\in \omega^\omega)(\forall f\in X)(f \leq^* g)\}$
$\mathfrak{d}$ = $\min\{|X|: X \subseteq \omega^\omega \land (\forall g\in \omega^\omega)(\exists f\in X)(g \leq^* f)\}$

($\omega$ oznacza tutaj zbiór liczb naturalnych zaś $f \leq^* g$ oznacza, że $(\exists n \in \omega)(\forall k>n)(f(k) \leq g(k))$).
Ponadto:

$$ \mathrm{add}(\mathcal{K}) = \min\{\mathfrak{b}, \mathrm{cov}(\mathcal{K})\}, \quad \mathrm{cof}(\mathcal{K}) = \max\{\mathfrak{d}, \mathrm{non}(\mathcal{K})\} $$

Diagram ten zawiera serię dwunastu twierdzeń udowodnionych przez A. Millera, F. Galvina, T. Bartoszyńskiego o raz przez mnie. Nazwę "Cichoń's Diagram" wymyślił David Fremlin. W trakcie tworzenia diagramu intensywnie współpracowałem z Januszem Pawlikowskim oraz Tasosem Kamburelisem.

Żadne inne związki pomiędzy powyższymi współczynnikami nie zachodzą. Pokazane to zostało przez R. Solovaya, R. Lavera, S. Shelaha oraz prze mnie: w tym celu, za pomocą technik forcingowych, zostało skonstruowanych 21 odpowiednich modeli teorii mnogości.

Addytywność ideału Mokobodzkiego (Additivity of Mokobodzki's ideal)

Ideał Mokobodzkiego jest zdefiniowany następująco: $$\mathcal{M} = \{X\subseteq \mathbb{R}^2: (\forall \epsilon>0)(\exists U \subseteq \mathbb{R}^2)(U \mbox{ is open } \land (\forall x)(\lambda(U_x)<\epsilon))\}~,$$ gdzie $U_x = \{y:(x,y)\in U\}$ oraz $\lambda$ jest miarą Lebesque'a.

Twierdzenie [J. Cichoń, J. Pawlikowski] $\mathrm{add}(\mathcal{M}) = \aleph_1$.

Równoważność dwóch definicji ciągłości

Niech $AC_{\omega}(\mathbb{R})$ oznacza następującą wersję Aksjomatu Wyboru: dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\omega}$ niepustych podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb{R}$ istnieje funkcja $f:\omega\to\mathbb{R}$ taka, że $(\forall n\in\omega)(f(n)\in A_n)$.
Niech $CC(f,a)$ oznacza zdanie "funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ w sensie Cauchy'ego".
Niech $HC(f,a)$ oznacza zdanie "funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ w sensie Heine'go".

Twierdzenie [J. Cichoń] Następujące zdania są równoważne w teorii ZF:

$AC_{\omega}(\mathbb{R})$
$(\forall f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}})(\forall a\in \mathbb{R})(CC(f,a) \equiv HC(F,a))$

Obraz kuli jednostkowej

Prosta rzeczywista $\mathbb{R}$ i płaszczyzna $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ rozważane jako przestrzenie liniowe nad ciałem liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ są izomorficzne.

Twierdzenie [J. Cichoń, P. Szczepaniak] Niech $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ będzie izomorfizmem liniowym nad ciałem $\mathbb{Q}$. Wtedy zbiór $$f[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \lt 1\}]$$ jest zbiorem całkowicie niemierzalnym w sensie Lebesgue'a.

Semigrupa odwzorowań ciągłych przestrzeni Baire'a

Niech

$\mathcal{N}$ oznacza standardową przestrzeń Baire'a (nieskończonych ciągów liczb naturalych),
$\mathcal{C}$ oznacza semigrupę funkcji ciągłych z $\mathcal{N}$ w $\mathcal{N}$ (działaniem jest złożenie funkcji),
$\mathcal{L}$ oznacza rodzinę funkcji Lipschitz'a z $\mathcal{N}$ w $\mathcal{N}$,
$rank(\mathcal{C}:\mathcal{L})$ oznacza minimalną moc takiego zbioru funkcji $X\subseteq \mathcal{C}$, że zbiór $\mathcal{L} \cup X$ generuje $\mathcal{C}$.

Wtedy

Twierdzenie [J. Cichoń, J. D. Mitchell, M. Morayne] $rank(\mathcal{C}:\mathcal{L}) = \aleph_1$

Delta metoda (Delta Method)

Delta metoda, opracowana przez H. Cramera, może być w znacznym zakresie zautomatyzowana i dawać precyzyjne wyniki o asymptotyce momentów zmiennych losowych. Oto jeden z otrzymanych wyników (Analco13, New Orlean, 2013):

Twierdzenie [J. Cichoń, Z. Gołębiewski, M. Kardas, M. Klonowski] Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowych Bin(n,p), to jej entropia wyraża się wzorem $$ \log(\sqrt{2\pi n e p q})+\frac{1}{12 n}\left(4-\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right)~,$$ gdzie q=1-p.

Mój klucz publiczny

---- BEGIN SSH2 PUBLIC KEY ----
Comment: "rsa-key-20141011"
AAAAB3NzaC1yc2EAAAABJQAAAQEAjexBv4Cj3vLdTI2Uo0WsVYitWB+02U74AFhw
9RCYlIm0H8w+T9Z/Wr6FT6wlo8NIkEFwDe1R0kNoMBKXiCTj3vVbm4g400pmUdn6
ras+/59JR3cKTzezx0b7vm4tPV4wudLeYzDILOl7ynovgaUkPKiYTyxCXRa4ywiy
SeP/uh0SNIGtmcrbToyk++kEGhCqvJQqymaMhtGzC4wGrXvG+9SNLNhuEzy7RZu3
YSq+MxTU8K9Q8d9aBUDjPYbx96APCUmc1wLZCjbcyztfWiymCFmudQ7Ykz6CBqF+
66gHmZBbVL1HIsXO7Q2TXB8XyeUS1S8i/69nZV+QuaEZUPyU4Q==
---- END SSH2 PUBLIC KEY ----