Karol Gotfryd

Podstawowe informacje

Kurs ten przeznaczony jest dla studentów 2 roku (3 semestru) studiów I stopnia na kierunku Informatyka Algorytmiczna. Obejmuje on wykład (30 h) oraz ćwiczenia (30 h).

Rozkład zajęć:

• Wykład (K.G.)
  • Czwartek, 13¹⁵–15⁰⁰, s. 29 bud. D-1
• Ćwiczenia
  • Piątek, 13¹⁵–15⁰⁰, s. 23 bud. C-3 (dr M. Michalski)
  • Piątek, 13¹⁵–15⁰⁰, s. 34 bud. C-4 (dr P. Szczepaniak)
  • Piątek, 13¹⁵–15⁰⁰, s. D2.2 bud. C-16 (K.G.)

Opis kursu (karta przedmiotu): 04INA0-25S103O00013G.

Listy zadań na ćwiczenia

• Lista 0 (wyłącznie na 1. zajęcia) – powtórka z matematyki dyskretnej i analizy
• Lista 1 – ciała i \(\sigma\)-ciała zbiorów
• Lista 2 – przestrzenie probabilistyczne, własności prawdopodobieństwa
• Lista 3 – prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń
• Lista 4 – zmienne losowe i ich rozkłady, własności dystrybuanty, zmienne losowe o rozkładach dyskretnych i ciągłych (cz. I)
• Lista 5 – zmienne losowe o rozkładach dyskretnych i ciągłych, funkcje zmiennych losowych, niezależność zmiennych losowych, wektory losowe

Zasady zaliczenia kursu

Grupa kursów „Rachunek prawdopodobieństwa” obejmuje ćwiczenia oraz wykład (z egzaminem). Końcowa wspólna ocena z grupy kursów obliczana jest na podstawie wyników uzyskanych na ćwiczeniach i na egzaminie.

Zaliczenie ćwiczeń

1. Wykładowca ogłasza z wyprzedzeniem listy zadań do samodzielnego rozwiązania. Na ćwiczeniach prezentowane są rozwiązania zadań (z list lub podanych przez prowadzącego na zajęciach) oraz wyjaśniane są wątpliwości dotyczące rozwiązań. Decyzję odnośnie wyboru zadań do rozwiązania podejmuje prowadzący.
2. Podstawą zaliczenia ćwiczeń są:
   • punkty ze sprawdzianów przeprowadzanych na ćwiczeniach (składowa \(S\))
   • punkty za zadania domowe do samodzielnego rozwiązania (składowa \(Z\)).
3. Końcowy wynik punktowy z ćwiczeń \(C\) obliczany jest jako \(C = 0,\!75 \cdot S + 0,\!25 \cdot Z\). Wynik ten może być podwyższony przez prowadzącego na podstawie aktywności na ćwiczeniach, jednak nie wyżej niż do 5,5 (tj. \(C \in [0, \ 5,\!5]\)).
4. Punktacja z ćwiczeń nie podlega poprawianiu po zakończeniu zajęć.
5. Kwestie tu nieustalone określa prowadzący ćwiczenia.

Egzamin

1. Terminy egzaminu oraz jego forma podane zostaną do końca czwartego tygodnia zajęć.
2. Egzamin oceniany jest w skali od 2,0 do 5,0.
3. Do egzaminu w II terminie mogą przystąpić osoby, które w I terminie uzyskały wynik niższy niż 3,0 (w tym osoby nieobecne), a także – wyłącznie za zgodą prowadzącego – osoby, których wynik z egzaminu jest rażąco niższy od wyniku uzyskanego na ćwiczeniach. W każdym przypadku wynik w II terminie nadpisuje wynik z I terminu.
4. Na egzaminie jedyną dopuszczalną pomocą naukową jest kartka formatu A4 podpisana w taki sposób, aby z odległości 2 metrów dało się ustalić, do kogo należy. Oprócz tego nie można mieć żadnych innych kartek, książek lub innych pomocy. Kartki z treścią zadań i miejscem na rozwiązania oraz brudnopisy dostarcza wykładowca.

Prawa autorskie i narzędzia AI

Odpowiedzi na sprawdzianach, egzaminie oraz rozwiązania zadań domowych, co do których prowadzący nie może ustalić autorstwa (przypadek, gdy osoby porozumiewają się w trakcie sprawdzianu bądź egzaminu lub przedkładają rozwiązania zadań o identycznej formie), lub w których nie zostały wyraźnie oznaczone źródła pochodzenia wykorzystywanych fragmentów (brak odpowiednich cytowań lub informacji o wygenerowaniu przez dostępne narzędzia, w tym AI), nie mogą być punktowane i są traktowane jako „brak odpowiedzi” / „nieoddane zadanie”.

W przypadku korzystania z narzędzi AI należy na prośbę prowadzącego umożliwić mu wgląd do wykorzystanych promptów i zwracanych odpowiedzi. Osoby używające narzędzi AI ponoszą odpowiedzialność za wszelkiego rodzaju błędy i nieakceptowalne treści zawarte w wykorzystanych odpowiedziach (np. błędy merytoryczne, wskazanie nieistniejących źródeł literaturowych, sformułowania nieakceptowalne etycznie, itp.) czy ewentualne naruszenie praw autorskich.

Ocena końcowa z grupy kursów

1. Warunkiem koniecznym zaliczenia grupy kursów jest uzyskanie co najmniej 2,5 punktów z ćwiczeń oraz zdanie egzaminu z wynikiem wyższym niż 2,0.
2. Ocena końcowa obliczana jest jako średnia punktów z ćwiczeń \(C \) i wyniku egzaminu \(E\), tj. \(O = (C + E)/2\), zaokrąglona do najbliższej oceny w następujący sposób: \begin{split} & \texttt{if } C \lt 2,\!{5} \texttt{ or } E = 2,\!0 \texttt{ then } ocena = 2.0 \\ & \texttt{else} \\ & \qquad ocena = \begin{cases} 3.0 & \texttt{if } \ O \lt 3,\!25 \\ 3.5 & \texttt{if } \ O \in [3,\!25, \ 3,\!75) \\ 4.0 & \texttt{if } \ O \in [3,\!75, \ 4,\!25) \\ 4.5 & \texttt{if } \ O \in [4,\!25, \ 4,\!75) \\ 5.0 & \texttt{if } \ O \ge 4,\!75 \end{cases} \end{split}

Literatura podstawowa

• G. Grimmett, D. Welsh, Probability. An introduction, 2^nd Edition, Oxford University Press, 2014
• M. Baron, Probability and Statistics for Computer Scientists, 3^rd Edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2019 (wersja cyfrowa jest dostępna dla studentów PWr w bazie O'Reilly Safari – patrz instrukcja na stronie Biblioteki PWr)
• W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2010
• M. Mitzenmacher, E. Upfal, Probability and Computing. Randomization and Probabilistic Techniques in Algorithms and Data Analysis, 2^nd Edition, Cambridge University Press, 2017

Literatura uzupełniająca

• R. Motwani, P. Raghavan, Randomized Algorithms, Cambridge University Press, 1995
• J.L. Johnson, Probability and Statistics for Computer Science, John Wiley & Sons, 2008
• S.M. Ross, A First Course in Probability, 10^th Edition, Pearson Education Ltd., 2019
• P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2021
• P. Billingsley, Probability and Measure, 3^rd Edition, John Wiley & Sons, 1995
• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. I, 3^rd Edition, John Wiley & Sons, 1968
• G. Grimmett, R. Stirzaker, Probability and Random Processes, 4^th Edition, Oxford University Press, 2020

Materiały do kursu, przydatne linki i narzędzia

• C.M. Grinstead, J.L. Snell, Introduction to Probability – Open Textbook Library
• Random – a website devoted to probability, mathematical statistics, and stochastic processes
• RANDOM.ORG – the Random Number Service
• WolframAlpha

Zagadnienia omówione na wykładach (w przybliżeniu)

Slajdy do wykładów oraz pliki z obliczeniami numerycznymi i symbolicznymi będą udostępniane w zakładce „Udostępniony” na kanale zespołu (Czw 13:15) Rachunek Prawdopodobieństwa - Wykład (Zima 26/27) na platformie MS Teams.

1. wykład (08.10.2026.)
   • informacje wstępne
     • organizacja pracy i zasady zaliczenia
     • literatura i materiały do kursu
   • wprowadzenie do kursu
     • metody probabilistyczne w informatyce – motywacje, zastosowania, przykłady
     • próba formalnego opisu eksperymentu losowego – motywacje i intuicje
   • ciała i \(\sigma\)-ciała podzbiorów
     • pojęcie ciała i \(\sigma\)-ciała
     • podstawowe własności
     • proste przykłady \(\sigma\)-ciał
     • \(\sigma\)-ciało generowane przez rodzinę podzbiorów
     • najmniejsze \(\sigma\)-ciało zawierające daną rodzinę podzbiorów
     • dodatkowe materiały online do wykładu i listy 1 na ćwiczenia
2. wykład (15.10.2026.)
   • ciała i \(\sigma\)-ciała podzbiorów – uzupełnienie
     • \(\sigma\)-ciało podzbiorów borelowskich \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) = \sigma(OPEN(\mathbb{R}^{d}))\)
   • podstawowe pojęcia i intuicje związane z teorią miary
     • pojęcia przestrzeni mierzalnej, miary, przestrzeni z miarą, zbioru miary zero
     • nieformalnie o mierze Lebesgue'a (intuicje, podstawowe fakty dot. istnienia)
   • przestrzenie probabilistyczne
     • próba formalnego opisu eksperymentu losowego – motywacje i intuicje
     • definicja przestrzeni probabilistycznej
     • podstawowe własności prawdopodobieństwa
   • przykłady przestrzeni probabilistycznych i ich podstawowe własności
     • przestrzenie kombinatoryczne
     • przestrzenie dyskretne (skończone i przeliczalne nieskończone)
3. wykład (22.10.2026.)
   • przykłady przestrzeni probabilistycznych i ich podstawowe własności – ciąg dalszy
     • przestrzenie dyskretne – przykłady
     • nieistnienie rozkładu jednostajnego na przestrzeni przeliczalnej nieskończonej
   • „geometryczna” definicja prawdopodobieństwa – przykład przestrzeni nieprzeliczalnej
   • omówienie zadania domowego 1
   • prawdopodobieństwo warunkowe
     • wprowadzenie, podstawowe intuicje
     • definicja i przykłady
     • wzór na prawdopodobieństwo całkowite
     • twierdzenie (wzór) Bayesa
     • przykład – wiarygodność testów diagnostycznych (więcej przykładów)
4. wykład (29.10.2026.)
   • niezależność zdarzeń
     • defnicja zdarzeń niezależnych
     • przykłady zdarzeń zależnych, niezależnych i parami niezależnych
     • przykłady – niezawodność systemów, transmisje w sieciach single-hop
     • model – niezależne rzuty monetą (ciągi losowych bitów)
   • podstawowe intuicje związane z teorią miary – cd.
     • pojęcie funkcji mierzalnych – definicja, intuicje, przykład
     • równość prawie wszędzie (prawie na pewno, a.s.)
   • zmienne losowe
     • pojęcie zmiennej losowej – motywacje, intuicje
     • definicja zmiennej losowej, definicje równoważne
     • rozkład zmiennej losowej
     • przykłady (cz. I) – zmienne losowe o przeliczalnym zbiorze wartości
5. wykład (05.11.2026.)
   • zmienne losowe – ciąg dalszy
     • przykłady (cz. II) – zmienne losowe o przeliczalnym i nieprzeliczalnym zbiorze wartości
   • dystrybuanta zmiennej losowej
     • defnicja
     • przykłady – rozkłady dyskretne, ciągłe i mieszane
     • własności dystrybuanty
   • zmienne losowe dyskretne
     • funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) i jej własności
     • przykłady (więcej przykładów)
     • związki funkcji masy prawdopodobieństwa z dystrybuantą
   • rozkłady (absolutnie) ciągłe – wprowadzenie
     • funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF)
     • pojęcie rozkładu (absolutnie) ciągłego
     • podstawowe własności gęstości i rozkładów ciągłych
6. wykład (12.11.2026.)
   • omówienie zadania domowego 2 (model kul i urn)
   • rozkłady (absolutnie) ciągłe – ciąg dalszy
     • funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) i pojęcie rozkładu ciągłego – przypomnienie i uzupełnienie
     • podstawowe własności gęstości i rozkładów ciągłych, porównanie z rozkładami dyskretnymi
     • przykład – losowy punkt z odcinka \([0,1]\)
     • funkcja gęstości prawdopodobieństwa jako pochodna dystrybuanty
   • ★ równoważna definicja rozkładu ciągłego, uwaga o istnieniu rozkładów osobliwych (zagadnienie nieobowiązkowe)
   • funkcje dyskretnych zmiennych losowych
     • funkcje dyskretnych zmiennych losowych
     • przykład – kwardat dyskretnej zmiennej losowej
   • funkcje zmiennych losowych o rozkładach ciągłych
     • założenie o mierzalności
     • przykład – funkcja liniowa \(Y = a X + b,\ a > 0\)
     • uogólnienie dla funkcji ściśle monotonicznych i różniczkowalnych