Wykład przeznaczony jest dla studentów I roku studiów I stopnia Fizyki na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki. Odbywa się we czwartki w godz. - (sala 131/C13) Na stronie tej znajdziesz informacje o zasadach zaliczenia, realizowanym materiale, literaturze oraz listę zadań.
Obecność na wykładzie jest obowiązkowa, ale raczej nie będzie zawsze sprawdzana :--). Ale uważajcie: program kursu jest jest dość obszerny - jest to kurs trudniejszy niż kur Analiza I. Musicie systematycznie pracować. Jeśli opuścicie jakikolwiek wykład, to musicie go natychmiast samodzielnie nadrobić.
Zasady zaliczania kursu
Ćwiczenia
Na ćwiczeniach odbędą się trzy 30 minutowe kolokwia. Na każdym z nich dostaniecie do zrobienia 3 zadania. Za każde z nich będziecie mogli otrzymać do 5 punktów. Za aktywność można uzyskać dodatkowo do 15 punktów. Ocena końcowa (C) z ćwiczeń będzie wystawiana za pomocą następującej tabelki:
Pkt
0..15
16..20
21..26
27..32
33..39
40..45
46..60
C
2.0
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Egzamin
Termin I: 27.06.2017 (wtorek), godz. 15:00-17:00, sala 322/A1
UWAGA: poprawianie zajęło więcej czasu niż się spodziewałem (przepraszam). Dopiero w nocy z czwartku na piątek, o ok. godziny 1:00, skończyłem wpisywanie ich do systemu.
UWAGA: osoby, które nie mają wpisanej oceny do systemu muszą (o ile chcą mieć pozytywną ocenę z kursu) pojawić się na II terminie. Zadania będą podobne do tych z pierwszego terminu. Przeanalizujcie więc bardzo dokładnie umieszczone na tej stronie rozwiązania oraz opanujcie możliwie dobrze materiał z nimi związany.
UWAGA: osoby, które bardzo będą chciały zapoznać się ze swoimi rozwiązaniami, będą to mogły zrobić w ostatni dzień sesji, czyli 11 lipca 2017. Informacje o terminie moich konsultacji podam na swojej stronie.
Termin II: 07.07.2016 (piątek), godz. 11:00-13:00, sala 322/A1
Wyniki zostały opublikowane tego samego dnia wieczorem.
Sposób oceniania i ocena końcowa
Na egzaminie dostaniecie do zrobienia 6 zadań. Za każde z nich będziecie mogli otrzymać do 5 punktów. Ocena (E) z egzaminu będzie wystawiana za pomocą następującej tabelki:
Pkt
0..10
11..14
15..19
20..24
25..27
28..29
30
E
2.0
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Do indeksu zostanie wam wpisana ocena K wyznaczana za pomocą następującego wzoru:
K={max{E,E+C2}:E≥32.0:E=2.0
Końcowe wyniki
Na kurs zapisanych było 197 osób.
Ocenę ndst otrzymało 30 osób; 22 osoby nie przystąpiły do II terminu.
Ocenę 5.5 otrzymały 3 osoby
Ocenę 5.0 otrzymało 11 osób
Średnia ocena: 3.7
Literatura
Podstawowa
F. Leja, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN,
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, Cz. I, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Pomocnicza
G. M. Fichtenholz, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, T. I - II, Wydawnictwo Naukowe PWN,
dla dowolnych x,y,z\in V oraz \alpha,\beta \in \RR.
Przykłady iloczynów skalarnych na \RR^n: IS(x,y) = \sum_i x_i y_i, IS(x,y) = \sum_i a_i x_i y_i, gdzie a_1,\ldots a_n>0
Iloczyn skalarny na C([0,1]): \IS{f}{g} = \int_0^1 f(t)g(t) dt
Tw (Cauchy). Jeśli IS jest iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V, to dla dowolnych x,y\in V mamy
|IS(x,y)| \leq N(x)\cdot N(y)~,
gdzie N(x) = \sqrt{IS(x,x)}.
Def. Norma na przestrzeni wektorowej nad \RR: taka funkcja ||*||:V\to \RR, że
||x|| \geq 0
||x|| = 0 \IFF x=0
||x+y|| \leq ||x||+||y||
||\alpha x|| = |\alpha| \cdot ||x||
dla dowolnych x,y\in V oraz \alpha \in \RR.
Wniosek: Jeśli \IS{\cdot}{\cdot} jest iloczynem skalarnym na V to funkcja ||x|| = \sqrt{\IS{x}{x}} jest norma na przestrzeni V.
Przykłady norm na \RR^n:
||x||_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|
||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_1^2} (standardowa norma, utworzona ze standardowego iloczynu skalarnego)
||x||_\infty = \max\{|x_i|: i =1,\ldots, n\}
Jedno z zadań polega na pokazaniu, że normy ||\cdot||_1 oraz ||\cdot||_\infty nie pochodzą od żadnego iloczynu skalarnego.
Def. Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną jeśli X\neq\emptyset, d:X\times X \to [0,\infty) oraz
d(x,y)=0 \IFF x=y
d(x,y)=d(y,x)
d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
dla dowolnych x,y,z \in X.
Tw. Jeśli ||\cdot|| jest norma na przestrzeni V to funkcja
d(x,y) = ||x-y||
jest odległością na przestrzeni V (czyli (V,d) jest przestrzenią metryczną)
Przykład: Odległość euklidesowa na \RR^n:
d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}
Def. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Niech (a_n)_{n\in\NN} będzie ciągiem elementów przestrzeni X.
Niech g\in X. Wtedy
\lim_{n\to\infty} a_n = g \IFF (\forall \varepsilon \gt 0)(\exists N)(\forall n \gt N)(d(a_n,g)\lt \varepsilon)
Rozważamy \RR^k z metryką euklidesową. Bierzemy ciąg punktów a_n z \RR^n oraz g\in\RR^k.
Niech \pi_i((x_1,\ldots,x_n)) = x_i. Wtedy
\lim a_n = g \IFF (\forall i\in\{1,\ldots k\}) \left( \lim_n \pi_i(a_n) = \pi_i(g)\right)
Przykład (w \RR^3 z metryką euklidesową):
\lim_n \left(\frac{n}{n+1}, \left(1+\frac1n\right)^n, \sqrt[n]{n}\right) = (1,e,1)
09.03.2017: Przestrzeń euklidesowa
Obserwacja: jeśli (X,d) jest przestrzenią metryczną oraz \emptyset \neq Y \subseteq X, to (Y,d|Y\times Y) jest również przestrzenią metryczną.
Fakt: A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy (\forall a\in A)(\exists \varepsilon>0)(K(a,\varepsilon)\subseteq A)
Def. Zbiór A jest domknięty, jeśli cl(A)=A
Tw. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbieżnego ciągu (a_n) elementów zbioru A mamy \lim_n a_n \in A.
Def. Zbiór A jest zwarty, jeśli z każdego ciągu elementów zbioru A można wybrać pociąg zmieżny do elementu A
Tw. Podzbiór A\subseteq \RR^n jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdzy jest ogramiczony i domknięty.. Uwaga: to jest uogólnienie twierdzenie Weierstrassa.
Def. Niech (X,d) i (Y,\rho) będą przestrzeniami metrycznymi, f:X\to Y, a \in X, g\in Y.
Wtedy \lim_{x\to a} f(x) = g jeśli dla każdego ciągu (a_n) elementów X zbieżnego do a mamy \lim_n f(a_n) = g.
Def. Niech (X,d) i (Y,\rho) będą przestrzeniami metrycznymi, f:X\to Y, a \in X.
Funkcja f jest ciągła w punkcie a, jeśli \lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Wykresy funkcji z \RR^2 w \RR: f(x,y)=\sin(x+y) oraz g(x,y) = x^2+y^2:
16.03.2017: Ciągłość i różniczkowanie
Tw. Niech A\subseteq \RR^n \to \RR^m, a\in A oraz F(x) = (F_1(x),\ldots, F_m(x)). Funkcja F jest ciągła w a wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje F_1,\ldots, F_m są ciągłe w a
Funkcje f(x,y)=x+y, g(x,y) = x\cdot y, h(x,y) = x/y są ciągłe
Tw. Jeśli F:X_1\to X_2 jest ciągła w a i G:X_2\to X_3 jest ciągła w punkcie F(a) to funkcje G\circ F:X_1\to X_3 jest ciągła w a
Wykresy 3D oraz wykres konturowy funkcji f(x,y)=x^2-y^2:
Def. Niech U \subseteq \RR^n będzie zbiorem otwartym oraz F:U\to \RR^m. Pochodną funkcji F w punkcie a\in U nazywamy odwzorowanie liniowe DF_a:\RR^n\to\RR^M takie, że
gdzie dx_i(x_1,\ldots,x_i) = x_i (rzutowanie na i-tą współrzędną)
23.03.2017: Ciągłość i różniczkowanie
Tw. Różniczkowalność implikuje ciągłość
Przykład funkcji mającej pochodne cząstkowe w (0,0), która nie jest ciągła w punkcie (0,0):
f(x,y) = (xy)/(x^2+y^2) dla (x,y) \neq (0,0) oraz f(0,0)=0.
Twierdzenie: Jeśli f:\RR^n \to \RR ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu a, to jest różniczkowalna w punkcie a.
Definicja. Niech F = (F_1,\ldots,F_n):\RR^m \to \RR^n będzie różniczkowalna w punkcie a.
Macierzą Jacobiego funkcji F w punkcie a nazywamy macierz
Wykresy funkcji c(t) =(\cos(t),\sin(t), t/\pi)^T (t\in[0,4\pi]): c'(t) = (-\sin(t),\cos(t),1/\pi)^T.
Tw. DF_a(h) = F'(a)\circ h^T (znak \circ oznacza tu mnożenie macierzy przez wektor).
Tw. D (F\circ G)_a = DF_{G(a)} \circ DG_a.
Uwaga: Na wykładzie podałem tylko szkic dowodu tego twierdzenia. Pełen dowód, z podobnymi do naszych oznaczeniami, można znaleźć np. na stronie
Davida Perkinsona.
Def. Funkcja f:\RR^n\to \RR ma właściwe minimum (maksimum) lokalne w punkcie a\in\RR^n jeśli istnieje \epsilon>0 takie, że dla każdego x\in K(a,\epsilon)\setminus\{a\} mamy f(x)\gt f(a) (f(x)\lt f(a)).
Wniosek. Jeśli f:\RR^n\to\RR ma ekstremum lokalne w punkcie a i jest różniczkowalna w punkcie a to
(\forall i)(\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0).
Twierdzenie (na razie bez dowodu): Jeśli \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} oraz \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} są ciągłe, to \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
Wzór Taylora: Niech \nabla = \{h_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \ldots + h_n \frac{\partial}{\partial x_n}\}. Wtedy
f(a+h)= f(a) + \nabla_a f + \frac{1}{2!}(\nabla_a)^2 f + \frac{1}{3!}(\nabla_{a+\theta h})^3 f
06.04.2017: Ekstrema lokalne funkcji
Tw. Funkcja f:\RR^2 \to \RR ma lokalne minimum w punkcie a jeśli \nabla_a(f)=0, \partial^2 f/\partial^2 x(a)\gt 0 oraz
(\partial^2 f/\partial^2 x(a))\cdot(\partial^2 f/\partial^2 y(a)) - ((\partial^2 f/\partial x \partial y(a)) \gt 0
Twierdzenie: Załóżmy, że \nabla_a(f)=0.
Niech H_k \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\right]_{1\leq i,j\leq k}. Jeśli
(\forall 1\leq k \leq n)(\det(H_k)\gt 0)
to funkcja f ma minimum lokalne w punkcie a.
Wniosek: Załóżmy, że \nabla_a(f)=0.
Niech H_k \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\right]_{1\leq i,j\leq k}. Jeśli
(\forall 1\leq k \leq n)((-1)^k\det(H_k)\gt 0)
to funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie a.
Tw. Jeśli A jest zwarty i f:A\to \RR jest ciągła, to obraz F(A) jest zbiorem zwartym.
Wniosek. Jeśli A jest zwartym podzbiorem \RR^n i f:A\to \RR jest ciągła, to istnieją punkty a,b\in A takie, że f(a) = \sup\{f(x):x\in A\} oraz
f(b) = \inf\{f(x):x\in A\}.
20.04.2017: Twierdzenie o funkcji odwrotnej
Twierdzenie o Funkcji Odwrotnej Niech U\subseteq\RR^n bedzie zbiorem otwartym oraz niech F:U\to\RR^n będzie funkcją klasy C^1. Niech a\in U oraz b=F(a). Załóżmy, że det(F'(a))\neq 0. Istnieją wtedy zbiory otwarte U_1\subseteq U i V_1\subseteq \RR^n takie, że
a\in U_1 i b\in V_1
F[U_1] =V_1, F jest 1-1 na U_1
funkcja F^{-1}:V_1 \to U_1 jest klasy C^1
Wniosek: Przy oznaczeniach i założeniach poprzedniego twierdzenia: (F^{-1})'(b) = (F'(a))^{-1}
Przykład: Funkcja f(x,y) = (e^x\cos(x),e^x\sin(x) jest lokalnie odwracalna, ale nie jest odwracalna.
Twierdzenie o Funkcji Uwikłanej Niech F:\RR^2\to\RR będzie funkcją klasy C^1. Załóżmy, że F(a,b)=0 oraz, że (\partial F/\partial y)(a,b)\neq 0. Istnieje wtedy \varepsilon>0 oraz funkcja \phi klasy C^1 o dziedzinie (a-\varepsilon,a+\varepsilon) taka, że \phi(a)=b oraz
(\forall t \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon))(F(t,\phi(t))=0)~.
Szkic dowodu: Definiujemy funkcję f(x,y) = (x,F(x,y)). Zaczynamy od pokazania, że możemy zastosować do niej Twierdzenie o Funkcji Odwrotnej.
Wniosek: Przy oznaczeniach i założeniach poprzedniego twierdzenia:
\phi'(a) = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(a,b)} {\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)} ~.
Przykład. Styczna do elipsy o równaniu \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 w punkcie (x_0,y_0) ma równanie
\frac{x\cdot x_0}{a^2}+\frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1 ~.
24.04.2017: Wnioski z Twierdzenia o Funkcji Odwrotnej
Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym Niech U \subseteq \RR^n będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że f:U\to\RR^k jest odwzorowaniem klasy C^1 takim, że dla każdego x\in U rząd macierzy Jakobiego f'(x) jest równy k. Wtedy f[U] jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie Lagrange'a Niech U \subseteq \RR^n będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że f,g_1,\ldots,g_k:U\to\RR są odwzorowaniami otwartymi klasy C^1. Niech
\Omega = \{x\in U: g_1(x) = g_2(x) = \ldots = g_k(x) = 0\}~.
Założmy, że funkcja f ma estremum lokalne w punkcie a\in U na zbiorze U. Załóżmy również, że wektory \{\nabla_a g_1,\ldots,\nabla_a g_k\} są liniowo niezależne. Wtedy istnieją liczby \lambda_1,\ldots,\lambda_k takie, że
\nabla_a f = \sum_{i=1}^{k} \lambda_j \nabla_a g_i~.
Metoda mnożników Lagrange'a. Przykład: Szukamy maksimum funkcji f(x_1,\ldots,x_n) na zbiorze \{x\in\RR^n: x_1+\ldots+x_n=C\}. Za funkcję g bierzemy g(x_1,\ldots,x_n) = x_1+x_2+\ldots+x_n - 1 i rozważamy funkcję
\Phi(x) = f(x) - \lambda \cdot g(x)~.
Rozwiązujemy układ równań \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} = 0 (i = 1,\ldots,n).
04.05.2017: Całkowanie - I
Def: Prostopadłościan: zbiór postaci P = [a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]
Suma dolna funkcji f(x,y)= x\cdot y na prostopadłościanie (kwadracie) [0,1]^2 dla podziału na 5 części na każdej osi:
Def. Całka dolne i górna: l-\int_P f = \sup \{s(f,\pi):\pi jest rozbiciem P \} u-\int_P f = \inf \{S(f,\pi):\pi jest rozbiciem P \}
Def: Funkcja ograniczona f:P\to\RR jest całkowalana w sensie Riemana jeśli l-\int_P f = u-\int_P f; liczbę te nazywamy całką z funkcji f na prostopadłościanie P i oznaczamy ją \int_P f.
Twierdzenie. Jeśli A jest zbiorem zwartym i f:A\to\RR jest ciągła, to f jest jednostajnie ciągła.
Wniosek: Funkcje ciągłe na prostopadłościanie są na nim całkowalne.
TWIERDZENIE FUBBINIEGO Niech P \subseteq \RR^n i Q\subseteq \RR^m będą prostopadłościanami. Niech f:P\times Q\to \RR będzie ciągła. Wtedy
\int_{P\times Q} f = \int_P \left(\int_Q f(\vec{x},\vec{y}) d\vec{y}\right) d\vec{x}
Def. Zbiór A\subseteq \RR^n jest zbiorem miary zero jeśli dla każdego \epsilon \gt 0 istnieje rodzina prostopadłościanów (P_n)_n taka, że A \subseteq \sum_n P_n oraz \sum_n vol(P_n) \lt \epsilon).
Przykład: Niech f:[a,b]\to\RR będzie ciągła. Wtedy zbiór C=\{(x,f(x)):x\in[a,b]\} jest zbiorem miary zero.
Twierdzenie (bez dowodu). Funkcja ograniczona f:P\to \RR jest całkowalna w sensie Riemana wtedy i tylko wtedy, gdy \{x\in P: f nie jest ciągła w x\} jest zbiorem miary zero.
11.05.2017: Zamiast wykładu mamy Juwenalia
18.05.2017: Całkowanie - II
Dla zbioru A \subseteq \RR^n określamy
1_A(x) = \begin{cases}1 &:& x\in A\\0 &:& x\in\RR^n \setminus A\end{cases}
Definicja: Jeśli \Pi jest prostokątem oraz A\subseteq \Pi, to
\int_A f = \int_{\Pi} f\cdot 1_A
Przykład: Jeśli (\forall x\in [a,b])(\phi(x)\leq\psi(x)) oraz A=\{(x,y):x\in[a,b]\land \phi(x)\leq y \leq \psi(x)\} to
\int_A f dxdy = \int\limits_{a}^{b} \left(\int\limits_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) dy\right) dx~.
Twierdzenie. Jeśli v_1,\ldots,v_n \in \RR^n to
vol_n(\pi(v_1,\ldots,v_n)) = abs\left(\det \begin{bmatrix}v_1\\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} \right)
Twierdzenie: Jeśli \Omega \subseteq \RR^n, \Phi:\Omega \to \RR^n jest klasy C^1 oraz różnowartościowa to
\int_{\Phi(\Omega)} f = \int_{\Omega} f\circ\Phi \circ |det(J_{\Phi})|~.
Przykład: \Phi(x,y) = (ax, by); \Omega = \{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}. Wtedy E=\Phi(\Omega) jest elipsą o ramionach a i b. Mamy |det(J_{\Phi}(x,y)| = a\cdot b, więc
vol_2(E) = \iint\limits_E 1 dxdy = \iint\limits_{\Phi(\Omega)} 1 dxdy = \iint\limits_{\Omega} ab \cdot dxdy = \pi a b~.
Objętość kuli n-wymiarowej: vol(K_{n}(0,R) = c_n R^n, gdzie c_1 = 2; c_2=\pi oraz c_{n+2} = \frac{2\pi}{n+2} c_n
Wniosek: vol(K_{2n}(0,R) = \frac{\pi^n}{n!}
TWIERDZENIE:\int_{\RR} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
Uwaga: Powinniście tak długo przyglądać się dowodowi twierdzenia aż stanie się ono dla was oczywiste !!!
Twierdzenie Pappusa-Guldin'a: vol(A^*) = 2 \pi R_y pow(A), gdzie (R_x,R_y) jest środkiem ciężkości powierzchni A
Długość łuku: L = \int_a^b ||\phi'(t)|| dt.
Środek ciężkości łuku: R = \frac{1}{L} \int_a^b \phi(t)||\phi'(t)|| dt.
Powierzchnia płata:
S = \iint\limits_{\Pi} \sqrt{\left|\frac{d\phi}{dx}\right|^2 \left|\frac{d\phi}{dx}\right|^2 - \IS{\frac{d\phi}{dx}}{\frac{d\phi}{dy}}^2}
Twierdzenie Pappusa-Guldin'a: pow(L^*) = 2\pi\cdot R_y \cdot dlug(L), gdzie (R_x,R_Y) jest środkiem ciężkości łuku L.
Całka krzywoliniowa z pola wektorowego F wzdłuż łuku \phi:
\int\limits_{\phi} \vec{F}\cdot \vec{dl} = \int\limits_{a}^{b} \IS{(F\circ\phi)(t)}{\phi'(t)} dt~.
Uwaga: Pappus z Aleksandrii żył na przełomie III i IV wieku. Guldin żył na przełomie XVI i XVII wieku. Różnica: ok. 1300 lat.
08.06.2017: Całka krzywoliniowa
Stosowane oznaczenia: Jeśli \vec{F}(x) = (F_1(x),\ldots,F_n(x)) to \int_{\gamma} \vec{F}\cdot \vec{dl} oznacza się czasami \int_{\gamma}(F_1 dx_1+\ldots+F_n dx_n)
Tw. Całka krzywoliniowa nie zależy od parametryczacji łuku
Oznaczenie: Jeśli \gamma:[a,b]\to\RR^n to (-\gamma)(t) = \gamma(a+b-t).
Def. Pole \vec{F} na \Omega nazywamy polem potencjalnym jeśli istnieje h:\Omega\to\RR takie, że \vec{F} = \nabla h. Funkcję h nazywamy potencjałem pola wektorowego \vec{F}.
Przykład: Jeśli h(x) = 1/||x|| to
(\nabla h) (x) = \frac{-1}{||x||^{3}} \cdot x
Jeśli h(x,y,z)=-z to (\nabla h)(x,y,z)= (0,0,-1).
Tw. Jeśli \vec{F} = \nabla h oraz \gamma:[a,b]\to \RR^n to