04.10.2016: Język matematyki - cz. I

1. Rachunek zdań. Pojęcie zdania, wartości logicznych i pojęcie tautologii.
2. Przegląd najważniejszych tautologii; między innymi
   • $\models (p \to q) \leftrightarrow (\neg p \lor q)$ (prawo eliminacje implikacji)
   • $\models \neg (p \lor q) \leftrightarrow (\neg p \land \neg q)$ (prawo de'Morgana)
   • $\models \neg (p \land q) \leftrightarrow (\neg p \lor \neg q)$ (prawo de'Morgana)
3. Oznaczenie: $\phi \equiv \psi$ oznacza $\models(\phi \leftrightarrow \psi)$
4. Aksjomat ekstensjonalności: zbiory A, B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $x$ mamy $$(x \in A) \leftrightarrow (x \in B)~.$$
5. Tw. Istnieje dokładnie jeden zbiór pusty
6. Def: $(x\in A \cup B) \leftrightarrow ((x\in A) \lor (x\in B))$
7. Def: $(x\in A \cap B) \leftrightarrow ((x\in A) \land (x\in B))$
8. Tw. $A \cup (B \cup C) = A\cup (B\cup C)$

06.10.2016: Język matematyki - cz. II (jedna godzina)

1. Def: $(x\in A \setminus B) \leftrightarrow ((x\in A) \land (\neg(x\in B))$
2. Def: Dla $A\subseteq \Omega$ określamy $A^c = \Omega\setminus A$ (uwaga: zawsze musimy wiedzieć do jakiego zbioru dopełniamy)
3. Tw. (prawa de Morgana) Dla $A,B \subseteq \Omega$ mamy $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ oraz $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
4. Odpowiedniość między tautologiami a prawami rachunku zbiorów:
   • $\models(p\lor q \leftrightarrow q\lor p)$ ::: $A\cup B = B \cup A$
   • $\models(p\land q \leftrightarrow q\land p)$ ::: $A\cap B = B \cap A$
   • $\models(p\land p \leftrightarrow p)$ ::: $A\cap A = A$
   • $\models((p\lor q)\lor r \leftrightarrow p \lor (q\lor r)$ ::: $(A\cup B)\cup C = A \cup (B \cup C$)
   • $\models(\neg (p\lor q) \leftrightarrow (\neg p\land \neg q)$ ::: $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$
   • ...
5. Def. Funkcją zdaniową na zbiorze $\Omega$ nazywamy dowolne przyporządkowanie $\psi$ elementom zbioru $\Omega$ wartości logicznych ze zbioru $\{0,1\}$.
6. Oznaczenia:
   • $\RR$: liczby rzeczywiste,
   • $\QQ$: liczby wymierne,
   • $\ZZ}$: liczby całkowite,
   • $\NN$: liczby naturalne $\{0,1,2,\ldots\}$ (uwaga: liczbę $0$ zaliczamy do zbioru liczb naturalnych)
7. Def. (operacja wyróżniania) Niech $\phi$ będzie funkcją zdaniową na zbiorze $\Omega$. Wtedy $A = \{x\in\Omega: \phi(x)\}$ jeśli $$ x \in A \leftrightarrow x\in\Omega \land \phi(x) ~. $$ Przykład: $\{x\in\mathbb{R}: 0 \lt x \land x\leq 2\} = (0,2]$.

11.10.2016

Język matematyki - cz. III

1. Def: $(\forall x \in\Omega)\phi(x) \equiv \{x\in\Omega: \phi(x)\} = \Omega$
2. Def: $(\exists x \in\Omega)\phi(x) \equiv \{x\in\Omega: \phi(x)\} \neq \emptyset$
3. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
   • $\neg (\forall x \in\Omega)\phi(x) \equiv (\exists x\in\Omega)(\neg \phi(x))$
   • $\neg (\exists x \in\Omega)\phi(x) \equiv (\forall x\in\Omega)(\neg \phi(x))$

Liczby rzeczywiste

1. Podstawowe własności:
   • $(x+y)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot y + y^2$,
   • $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$,
   • $(x+y)^3 = x^3 + 3\cdot x^2\cdot y +3\cdot x \cdot y^2 +y^3$.
2. Def: $0!=1$, $n! = 1\cdot 2 \cdots n$
3. Def. (Symbol dwumianowy Newtona) $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-1k)!}$
4. Trójkąt Pascala: [WIKI]
5. Wzór dwumianowy Newtona
   $$(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$$
6. Wniosek: $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
7. Funkcja kwadratowa: $$ ax^2+bx+c = ... = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) $$
8. Nierówność Cauchy'ego: Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a_1,\ldots,a_n$, $b_1,\ldots,b_n$ mamy
   $$ \left|\sum_{k=1}^n a_k b_k\right| \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n (a_k)^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n (b_k)^2} $$
   Dowód: Rozważamy funkcję $f(x) = \sum_{k=1}^{n}(a_k - x\cdot b_k)^2$; sprawdzamy, że jest to funkcje kwadratowa; z tego, że $(\forall x)(f(x)\geq 0)$ wnioskujemy, że $\Delta\leq 0$, wyliczamy wyróżnik $\Delta$, upraszczamy i otrzymujemy tę nierówność.

18.10.2016

Liczby rzeczywiste: II

1. Tw: $|x+y| \leq |x| + |y|$
2. Def: $d(x,y) = |x-y|$
3. Tw. (Nierówność trójkąta) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$.
4. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$. Liczba $g$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ jeśli $(\forall x\in A)(x \leq g)$
5. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$. Liczba $g$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ jeśli $(\forall x\in A)(x \geq g)$
6. Def. $g=\sup(A)$ jeśli $g$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru $A$.
7. Zasada Zupełności: Każdy ograniczony, niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ma supremum.
8. Oznaczenie: $sup(A)=\infty$ jeśli A nie jest ograniczony z góry.
9. Przykład: $\sup(\{x\in\mathbb{Q}: 0\leq x \land x^2\leq 2\}) = \sqrt{2}$
10. Tw. $\sup(\mathbb{N}) = \infty$
11. Wniosek: $(\forall x\in\mathbb{R})(x\gt 0 \to (\exists n\in\mathbb{N})(\frac{1}{n} \lt x))$.

Ciągi i granice

1. Ciągami nazywamy funkcje $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$; stosujemy oznaczenie $a_n=a(n)$
2. Def: $\lim_{n\to\infty} a_n = g$ jeśli
   $$ (\forall \varepsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\gt N)(|a_n - g| \lt \varepsilon) $$
3. Przykład: Jeśli $(\forall n \in\mathbb{N})(a_n = c)$ to $\lim_{n\to\infty} a_n = c$
4. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$
5. Tw. Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ i $\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ oraz to $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \alpha+\beta$.
6. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{n+1}$ = $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1}) = \ldots = 1$.
   

Komentarz do pytania na przerwie

1. Dla dowolnych dwóch zbiorów $X$ i $Y$ definiujemy: $|X| = |Y|$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja $f:X\to Y$ która jest różnowartościowa i "na".
2. Pokazać można, że $|\NN| = |\ZZ| = |\QQ|$ (to nie jest trywialne, wymaga to pewnego rozumowania)
3. G. Cantor pokazał, że $|\NN| \neq |\RR|$
4. To ostatnie twierdzenie można też wyrazić w taki sposób: $|\NN| \lt |\RR|$

20.10.2016

Ciągi

1. Tw. (O jednoznaczności pojęcia granicy) Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = g_1$ oraz $\lim_{n\to\infty} a_n = g_2$, to $g_1=g_2$.
2. Tw. Załóżmy, że ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne. Wtedy
   1. $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} (a_n) + \lim_{n\to\infty} (b_n)$
   2. $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} (a_n) \cdot \lim_{n\to\infty} (b_n)$
   3. Jeśli $\lim_{n\to\infty} (b_n) \neq 0$ to $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n}$
3. Tw. Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = g$ oraz $n_0\lt n_1 \lt n_2 \lt \ldots$, to $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = g$
4. Przykład: Ciąg $a_n = (-1)^n$ nie jest zbieżny.
5. Def: Punkt skupienia ciągu $\equiv$ granica jego podciągu
6. Wniosek: Granica ciągu nie ulega zmienie jeśli z niego skreślimy lub w nim zmodyfikujemy kilka jego wyrazów.
7. Tw (O trzech ciągach). Załóżmy, że $(\forall n)(a_n \leq b_n \leq c_n)$ oraz, że $\lim_{n\to\infty} a_n$ = $\lim_{n\to\infty} c_n = g$. Wtedy $\lim_{n\to\infty} b_n = g$.
8. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$:
   
9. Def. $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ jeśli $(\forall C)(\exists N)(\forall n\gt N)(C\lt a_n)$
10. Def. $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ jeśli $(\forall C)(\exists N)(\forall n\gt N)(a_n \lt C)$
11. Tw. Jeśli $(\forall n)(a_n \leq b_n)$ oraz $\lim_{n\to\infty} a_n=\infty$ to $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$
12. Zasady postępowania z nieskończonościami: $\infty+\infty = \infty$; $\infty\cdot \infty = \infty$; $c+\infty = \infty$; jeśli $c\gt 0$ to $c\cdot \infty = \infty$; jeśli $c\lt 0$ to $c\cdot \infty = -\infty$; $(-\infty)\cdot (-\infty) = \infty$;
    Uwaga: każdy z tych faktów należy odpowiednio zinterpretować; np. pierwszą własność interpretujemy następująco: jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ oraz $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$, to $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \infty$.
13. Niech $a\in\mathbb{R}$ będzie ustaloną liczbą. Wtedy $$ \lim_{n\to\infty} a^n = \begin{cases} \infty &: a \gt 1 \\ 1 &: a=1 \\ 0 &: |a| \lt 1 \\ \mbox{nie istnieje} &: a\leq -1 \end{cases} $$

25.10.2016

Ciągi - c.d.

1. Tw. $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$.
2. Tw. Jeśli $0\lt a$ to $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$.
3. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^n+5^n} = 5$
4. Def. Ciąg $(a_n)$ jest
   1. niemalejący (słabo rosnący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\leq a_{n+1})$
   2. rosnący (ostro rosnący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\lt a_{n+1})$
   3. nierosnący (słabo malejący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\geq a_{n+1})$
   4. malejący (ostro malejący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\gt a_{n+1})$
5. Tw. Jeśli ciąg $(a_n)$ jest niemalejący i ograniczony z góry, to $\lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$.
6. Przykład: Definiujemy ciąg wzorem: $a_0=2$, $a_{n+1} = \frac12(a_n+\frac{2}{a_n})$. Wtedy $\lim_{n\to\infty} a _n = \sqrt{2}$.
7. Badamy ciąg $a_n = (1+\frac1n)^n$
   
   1. Ciąg $(a_n)$ jest ograniczny z góry przez 3
   2. $(\forall n\geq 1)(a_n \lt a_{n+1})$
   3. Ciąg $(a_n)$ jest więc zbieżny. Jego granicę oznaczamy przez $e = 2.718281828\ldots$ (stała Eulera), czyli $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e. $$
   4. $e = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (=$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}$)
8. Dokładniej: e = 2.718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 700 ...
9. Tw. (bez dowodu) Dla dowolnej liczby $a\in\mathbb{R}$ mamy $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} ~. $$

03.11.2016

Ciągi i Indukcja Matematyczna

1. Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
2. Tw. [Weierstrass] Każdy ograniczony ciąg zawiera podciąg zbieżny.
3. Zasada Indukcji Matematycznej: $$ \left(\phi(a) \land (\forall n)(\phi(n)\to\phi(n+1))\right) \to (\forall n\geq a)\phi(n) $$
4. Zastosowania indukcji:
   1. $1+2+\ldots+n = \frac12 n(n+1)$
   2. $1^2+2^2+\ldots+n^2 = \frac16 n(n+1)(2n+1)$ (z tego wzoru wyprowadzimy w przyszłości wzór $\int\limits_0^1 x^2 dx = \frac13$)
   3. Jeśli $q\neq 1$ to $1+q+q^2+\ldots+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
   4. Nierówność Bernouliego: Dla dowolnej liczby $x\gt -1$ oraz dowolnego naturalnego $n$ mamy $(1+x)^n \geq 1+nx$
5. Przykłady
   1. $\lim_{n\to \infty} \frac{1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^3} = \frac13$
   2. $\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac12 + (\frac12)^2+(\frac12)^3 + \ldots+(\frac12)^n\right) = 2$
   3. $ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^\alpha}\right)^n = \begin{cases}1 &:\alpha\gt 1\\ e &: \alpha=1\\ \infty &: \alpha\lt 1\end{cases} $

08.11.2016: Granice i funkcje ciągłe

1. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $F:a\to\mathbb{R}$, $A\in a$ oraz $g\in \mathbb{R}$. Mowimy, że $\lim_{x\to a}f(x)=g$ jeśli dla dowolnego ciągu $(a_n)$ elementów zbioru $A\setminus\{a\}$ zbieżnego do $a$ mamy $\lim_{n\to\infty}f(a_n) = g$.
2. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$, $A\in a$ oraz $g\in \mathbb{R}$. Mowimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$ jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
3. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$. Mowimy, że funkcja $f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $a\in A$.
4. Twierdzenie. Załóżmy, że istnieją $\lim_{x\to a}f(x)$ oraz $\lim_{x\to a}g(x)$. Wtedy
   1. $\lim_{x\to a}(f(x)+g(x)= \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)$;
   2. $\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x)= \lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)$;
   3. jeśli $\lim_{x\to a}g(x) \neq 0$ to $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$.
5. Tw. Wszystkie funkcje wymierne są ciągłe (na swojej dziedzinie).
6. Lemat: Jeśli $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ jest ciągła, $c\in(a,b)$ oraz $f(c)>0$, to istnieje $\epsilon>0$ taki, że$(\forall x)(|x-c|\lt \epsilon \to f(x)\gt 0)$.
7. Tw (o wartości pośredniej) Jeśli $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ jest ciągła oraz $f(a)\lt 0$ oraz $f(b) \gt 0$, to istnieje $c \in (a,b)$ takie, że $f(c) = 0$
8. Pojęcie $\lim_{x\to a+}f(x)$, $\lim_{x\to a-}f(x)$, $\lim_{x\to a+}f(x)=\infty$, $\lim_{x\to a+}f(x)=-\infty$.
9. Wykres funkcji $f(x)= \frac{1}{(x-1)(x-2)}$ (kolor niebieski) oraz mianownika $m(x)=(x-1)(x-2)$ (kolor czarwony).
   
10. Heurystyka: $\frac{1}{+0} = +\infty$, $\frac{1}{-0} = -\infty$, ...

17.11.2016: Funkcje ciągłe

1. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła oraz $f(a)\lt y\lt f(b)$ to istnieje $c\in(a,b)$ takie, że $f(c)=y$.
2. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła na odcinku $I$ oraz różnowartościowa, to jest monotoniczna.
3. Jeśli $f:A\to B$ jest różnowartościowa oraz $B=\vec{f}(A)$, to $f^{-1}\circ f = Id_A$ oraz $ f\circ f^{-1} = Id_B$
4. Tw. Funkcja odwrotna do różnowartościowej funkcji ciągłe jest ciągła.
5. Przykłady: $\arcsin = (\sin\upharpoonright[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])^{-1}$, $\arccos = (\cos\upharpoonright[0,\pi])^{-1}$, $\arctan = (\tan\upharpoonright(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))^{-1}$:
   
6. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła w punkcie $a$ oraz $g$ jest ciągła w punkcie $f(a)$, to funkcja $g\circ f$ jest ciągła w punkcie $a$.
7. Przykład: Funkcje $f(x)=\sin(x^2)$ oraz $g(x) = (\sin(x))^2$ są ciągłe.
   
   Wniosek: złożenie funkcji nie jest przemienne.
8. Serwis Google i Wolfram Alpha: przykłady użycia, oraz lista funkcji: google guide.
9. Nierówność $\sin(x) \leq x \leq \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (dla $0\lt x \lt \frac{x}{2}$)
10. Wniosek. Funkcja $\sin$ jest ciągła w zerze; Funkcja $\cos$ jest ciągła w zerze;
11. Wniosek. Funkcja $\sin$ jest ciągła w każdym punkcjie; Funkcja $\cos$ jest ciągła w każdym punkcie.

22.11.2016: Funkcje ciągłe

1. Tw. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
2. Tw. (Weierstrass) Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła, to istnieje $c\in[a,b]$ takie, że $f(c) = \sup\{f(x):x\in [a,b]\}$.
   Skorzystaliśmy z tego, że każdy ograniczony ciąg ma podciąg zbieżny.
   

Pochodne

1. Def: $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
   Przyjrzyj się apletowi: Pochodna
2. Przykład: $(x^2)'=2 x$
3. Przykład: $(a)'=0$
4. Przykład: $(x^n)'=nx^{n-1}$ ($n\in\NN$) [uwaga: skorzystaliśmy ze wzoru dwumianowego Newtona]
5. Tw. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $c$ to jest ciągła w punkcie $c$.
6. Przykład: funkcja $f(x) = |x|$ nie jest różniczkowalna w punkcie $0$
7. Tw. $(a f(x))' = af'(x)$
8. Tw. $(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)$
9. Przykład: Jesli $f(t)$ = $\frac12 a t^2 + b t + c$, to $f'(t) = ax + b$ (prędkość) oraz $f''(t) = a$ (przyśpieszenie).
10. Tw. $(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)$
11. Def. $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $c$ jeśli istnieje $\varepsilon \gt 0$ takie, że $(\forall x)(|x-c| \lt \varepsilon \to f(x)\leq f(c))$.
12. Def. $f$ ma minimum lokalne w punkcie $c$ jeśli istnieje $\varepsilon \gt 0$ takie, że $(\forall x)(|x-c| \lt \varepsilon \to f(x)\geq f(c))$.
13. Ekstremum lokalne $\equiv$ lokalne minimum lub lokalne maksimum.
14. Tw. Jeśli $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $c$ oraz jest różniczkowalna w punkcie $c$ to $f'(c)=0$
15. Przykład: Szukamy punktu w którym funkcja $f(x) = ax^2+bx+c$ ($a \gt 0$) ma minimum: obliczmy $f'(x) = 2 a x+ b$; rozwiązujemy równanie $2ax + b=0$, czyli $2 a x = -b$; otrzymujemy znany ze szkoły wzór $x_0 = \frac{-b}{2 a}$.
16. Tw. (Rolle) Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła oraz $f(a)=f(b)=0$ oraz jest rózniczkowalna w każdym punkcie $(a,b)$, to istnieje takie $c \in (a,b)$, że $f'(c) = 0$.
    W dowodzie skorzystaliśmy z twierdzenia Weierstrassa.

29-11.2016. Pochodne II

1. Tw. (Lagrange) Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i rózniczkowalna w $(a,b)$, to istnieje $c\in (a,b)$ takie, że $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)~.$$
2. Wniosek: Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i $(\forall x\in (a,b))f'(x)\gt 0$, to $f$ jest rosnąca na $[a,b]$.
3. Wniosek: Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i $(\forall x\in (a,b))f'(x)\lt 0$, to $f$ jest malejąca na $[a,b]$.
4. Wniosek: Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i $(\forall x\in (a,b))f'(x)=0$, to $f$ jest stała na $[a,b]$.
5. Przykład: analiza przebiegu zmienności funkcji $f(x) = \frac{x}{(x-1)(x-2)}$
   
   Uwaga; $f(-\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}-3 \approx -0.171573$, $f(\sqrt{2}) = -3 - 2 \sqrt{2} \approx -5.82843$ (dziękuję za pomoc !!!)
6. Tw. $(\sin(x))' = \cos(x)$
7. Tw. $(\cos(x))' = -\sin(x)$
8. Fakt; $(f(a\cdot x))' = a f'(at)$
9. Przykład: Rozważamy funkcję $f(t) = (r\cos(\omega t),r \sin(\omega t))$ ($r, \omega \gt 0$) - jest to model ruchu jednostajnego po okręgu o promieniu $r$ o częstotliwości $\omega$, czyli okresie $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Wtedy $f'(t)= (-r\omega\sin(x),r\omega\cos(\omega t))$, więc $||f'(t)|| = r\omega$. Następnie $f''(t) = (-r\omega^2\cos(t), r\omega^2\sin(t))$ oraz $||f''(t)|| = r\omega^2$
10. Tw. $\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1$
11. Tw. $(e^x)' = e^x$

01.12.2016. Pochodne III

1. Jeśli funkcja $f$ jest rózniczkowalna w punkcie $a$, to istnieje taka funkcja $\omega$, że $\lim_{h\to 0} \omega(h) = 0$, oraz $$ f(a+h) = f(a) + f'(a)h +\omega(h)\cdot h~. $$
2. Równanie stycznej do funkcji $f$ w punkcie $a$: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$
3. Tw. $((f\circ g)(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
4. Przykład: $(x+1)^4 = 4(x+1)^3$.
5. Przykład: $(a^x) = \ln(a) \cdot a^x$.
6. Przykład: Rozwiązanie równania różniczkowego $M'(t) = -\lambda M(t)$ (gdzie $\lambda>0$): rozwiązaniem tego równania jest funkcja $M(t) = M_0 e^{-\lambda t}$
7. Tw. ($f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
   
8. Przykład: $(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
9. Przykład: $(\arccos(x))' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
10. Przykład: $(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$
11. Tw. (Cauchy)[Twierdzenie o wartości średniej] Jeśli $f,g:[a,b]\to\RR$ są ciągłe oraz różniczkowalne na $(a,b)$ oraz $(\forall x\in(a,b))(g'(x) \neq 0)$, to istnieje $c\in(a,b)$ takie, że $$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} $$

06.12.2016. Pochodne IV

1. Przykład: $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$
2. Tw. l'Hospitala.Załóżmy, że $\lim_{x\to g} f(x)$ = $\lim_{x\to g} g(x)$ = $b$, gdzie $b\in\{0,\infty\}$ oraz $g \in \{-\infty, a+, a-, a, \infty\}$ (gdzie $a\in \RR$). Załóżmy, że istnieje $\lim_{x\to g}\frac{f(x)}{g(x)}$ Wtedy
   $$ \lim_{x\to g}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to g}\frac{f'(x)}{g'(x)}~. $$
3. Przykłady: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1$, .....
4. Def. Zbiór $A\subseteq \RR^2$ jest wypukły, jeśli dla dowolnych punktów $P,Q\in A$ mamy $\overline{PQ} \subseteq A$, gdzie $\overline{PQ}$ oznacza odcinek łączący punkty $P$ i $Q$.
5. Funkcja $F$ jest wypukła na odcinku $I$ jeśli zbiór $\{(x,y): x\in I \land f(x)\leq y\}$ jest wypukły.
6. Funkcja $F$ jest wkląsła na odcinku $I$ jeśli zbiór $\{(x,y): x\in I \land y \leq f(x)\}$ jest wypukły.
7. Tw. Jeśli dla każdego $x\in I$ ($I$-odcinek) mamy $f''(x) \gt 0$, to funkcja $f$ jest wypukła na $I$.
8. Tw. Jeśli dla każdego $x\in I$ ($I$-odcinek) mamy $f''(x) \lt 0$, to funkcja $f$ jest wklęsła na $I$.
9. Tw. Jeśli dla każdego $x\in I$ ($I$-odcinek) mamy $f''(x) \gt 0$ oraz $f'(a)=0$, to funkcja $f$ ma lokalne minimum w punkcie $a$.
10. Tw. Jeśli dla każdego $x\in I$ ($I$-odcinek) mamy $f''(x) \lt 0$ oraz $f'(a)=0$, to funkcja $f$ ma lokalne maksimum w punkcie $a$.
11. TWIERDZENIE TAYLORA (wersja I) Załóżmy, że $f$ jest $n+1$ razy różniczkowalna. Wtedy
    $$ f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \ldots \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n +R_n(x) $$ gdzie $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta_x\cdot x)}{(n+1)!} x^{n+1} $$ dla pewnego $\theta_x \in (0,1)$.
    (dowód za tydzień).
12. Przykład: $\sin(x) = x -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + R_9(x)$, gdzie $|R_9(x)| \leq \frac{|x|^9}{9!}$
    
13. Przykład: $\cos(x) = 1 -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + R_8(x)$, gdzie $|R_8(x)| \leq \frac{|x|^8}{8!}$
    

13.12.2016. Wzór Taylora

1. Przykład: $e^x = 1 + \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+ \ldots + \frac{x^n}{n!}+ R_{n}(x)$
   
2. TWIERDZENIE TAYLORA (wersja pełna) Załóżmy, że $f$ jest $n+1$ razy różniczkowalna. Wtedy
   $$ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \ldots \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +R_n(x) $$ gdzie $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(a+\theta_x(x-a))}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} $$ dla pewnego $\theta_x \in (0,1)$.
3. Przykład: Jeśli $f'(a)=0$ to $f(x) = f(a) + \frac{f''(a+\theta(x-a))}{2!}(x-a)^2$.
4. Dowód twierdzenia Taylora: pomysł: rozważamy funkcję $$ g(t) = f(t) + \frac{f'(t)}{1!}(x-t) + \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n~, $$ liczymy $g(x)-g(0)$; liczymy pochodną $g'(t)$; wprowadzamy drugą funkcję $h(t) = (x-t)^{n+1}$; wyznaczamy $g(x)-g(0)$; liczmy pochodną $g'(t)$ i w końcu stosujemy twierdzenie Cauchy'ego do ilorazu $\frac{g(x)-g(0)}{h(x)-f(0)}$.

Całkowanie - wprowadzenie

1. Podział odcinka $[a,b]$: dowolny skończony ciąg punktów $a=t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \ldots \lt t_n=b$
2. Def. Suma dolna dla podziału $\pi$: $s(f,\pi)$ = $\sum_{I\in\pi} \inf\{f(t);t\in I\} |I|$
3. Def. Suma górna dla podziału $\pi$: $S(f,\pi)$ = $\sum_{I\in\pi} \sup\{f(t);t\in I\} |I|$
4. Tw. Dla dowolnych podziałów $\sigma$ i $\pi$ mamy $s(f,\sigma) \le S(f,\pi)$.
5. Def. CAŁKA DOLNA: $l\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx = \sup_{\pi} s(f,\pi)$.
6. Def. CAŁKA GÓRNA: $u\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx = \inf_{\pi} S(f,\pi)$.
7. Def. Funkcja $f$ jest CAŁKOWALNA na $[a,b]$ jeśli $l\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx = u\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx$. Jesli funkcja $f$ jest całkowalna na $[a,b]$ to dowolną z tych liczb nazywamy CAŁKĄ (Riemana) z funkcji $f$ i liczbę tę oznaczamy symbolem $\int_{a}^{b} f(x) dx$.
8. Przykład: $\int_{0}^{1} x^2 = \frac13$ (patrz Aplet)

14.12.2016. CAŁKA OZNACZONA

1. Zadanie: Oblicz samodzielnie całkę $\int_{0}^{1}x^3 dx$ wyznaczając odpowiednie sumy dolne i sumy górne. Skorzystaj ze wzoru $1^3+2^3+\ldots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ (który możesz udowodnić metodą Indukcji Matematycznej).
2. Funkcja $$ f(x) = \begin{cases} 1 & x\in[0,1]\cap\QQ\\ 0 & x \in [0,1]\setminus\QQ\end{cases} $$ nie jest całkowalna (całka dolna $l\!-\!\int_0^1 f = 0$, oraz całka górna $u\!-\!\int_0^1 f = 1$).
3. Twierdzenie (na razie bez dowodu): Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, to istnieje całka $\int_a^b f$.
4. Tw. Jeśli $a \lt b \lt c$ to $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$
5. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ to istnieje $c \in [a,b]$ takie, że $\int_a^b f = f(c)\cdot(b-a)$.
6. ZASADNICZE TWIERDZENIE RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO Załóżmy, że $f:\RR\to\RR$ jest ciągła. Niech $a\in \RR$. Wtedy
   $$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) $$
7. Def. Funkcja $G$ jest funkcją pierwotną funkcji $f$ jeśli $G'(x) = f(x)$ dla każdego $x$.
8. Twierdzenie. Załóżmy, że $G$ jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej $f$. Wtedy
   $$ \int_{a}^{b} f(t) dt = [G(x)]_a^b~, $$
   gdzie $[G(x)]_a^b = G(b)-G(a)$.
9. Wniosek: $\int_{0}^{1} x^2 dx = [\frac13 x^3]_0^1 = \frac{1}{3}$, bo $(\frac13 x^3)' = x^2$
10. Def. Całką nieoznaczoną $\int f(x) dx$ nazywamy klasę wszystkich funkkcji pierwotnych funkcji $f$
11. Przykłady:
    1. Jeśli $a \neq -1$ to $\int x^a dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} + C$
    2. $\int \frac{1}{x} dx = \ln(x) + C$ (na razie dla $x\gt 0$)
    3. $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$
    4. $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$
12. Przykład: $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^{\pi} = 2$
13. Praca: Praca siły $F(x)$ równoległej do prostej rzeczywistej wykonana na odcinku $[a,b]$ jest równa $\int_a^b F(x) dx$ (zrobiliśmy to aproksymując pracę przez sumy Riemana i przechodząc do granicy po coraz drobniejszych rozbiciach). Jeśli $f(x) = \frac{GMm}{x^2}$ to (korzystając z tego, że $\int x^{-2} dx = -x^{-1}+C$) $$ W = \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{GMm}{x^2} dx = \left[- \frac{GMm}{x}\right]_{r_1}^{r_2} = GMm\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)~. $$

20.12.2016. Całkowanie

1. $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f$;     $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$
2. Tw. $\int(a f(x) + bg(x))dx = a \int f(x)dx + b \int g(x) dx$
3. Przykład: $\int(2 + x^2 + x^3)dx = 2x + \frac13 x^3 + \frac14 x^4 + C$.
4. Tw. $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln(f(x)) + C$
5. Przykład: $\int \frac{x}{1+x^2} = \frac12 \int \frac{2x}{1+x^2} dx = \frac12 \ln(1+x^2)$
6. Przykład: $\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$ = $\lim_{L\to\infty} \int_0^L \frac{1}{1+x^2}$ = $\lim_{L\to\infty} [\arctan(x)]_0^L$ = $\lim_{L\to\infty} (\arctan(L)-\arctan(0))$ = $\frac{\pi}{2}$
7. Tw (O różniczkowaniu przez części)
   $$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$
8. Przykład: $\int x e^x dx$ = $\int x (e^x)' dx$ = $x e^x - \int (x)'e^x dx$ = $x e^x - \int e^x dx$ = $x e^x- e^x + C = e^x(x-1) + C$
9. $\int \ln(x) dx = \int \ln(x)(x)' dx = x \ln(x) - \int \frac{1}{x}x dx = x \ln(x) - x + C = x(\ln(x)-1)+C$
10. Twierdzenie o różniczkowaniu przez podstawienie
    $$ \int f(g(x))g'(x) dx = [\int f(u) du]_{u=g(x)} $$
11. Przykład: $\int (2 x + 1)^{100} dx$ = $\int u^{100} \frac12 du$ = $\frac12 \frac{1}{101}u^{101} + C$ = $\frac12 \frac{1}{101}(2 x + 1)^{101} + C$.
    Podstawienie $u = 2 x+1$, z tego wyliczyśmy $du = 2 dx$, czyli $dx = \frac12 du$.
12. Przykład: $\int \cos^2(x) dx = ... = \frac12 + \frac14 \sin(2x) + C$
13. Twierdzenie o różniczkowaniu przez podstawienie
    $$ \int\limits_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(u) du $$
14. Przykład: $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \ldots = \frac{\pi}{4}$
    Zastosowaliśmy podstawienie $x = \sin(t)$; z tego otrzymaliśmy $dx = \cos(x) dx$

10.01.2016. Całkowanie

1. Przykład: definiujemy $I_n = \int x^n e^x dx$; mamy $I_0 = e^x + C$ oraz $I_{n+1} = x^{n+1} e^x - (n+1)I_n$
2. Funkcje wymierne - I: $$ \int \frac{1}{(x-a)^n} = \begin{cases} \ln|x-a| + C & n=1\\ \frac{1}{1-n} \frac{1}{(x-a)^{n-1}} & n\geq 2 \end{cases} $$
3. Funkcje wymierne - II:
   1. Przypadek $\int\frac{x}{(x^2+c^2)^n}dx$ rozwiązujemy przez podstawienie $u = x^2+c^2$
   2. Przypadek $\int \frac{1}{((x-a)^2+c^2)^n}$ sprowadzamy najpierw do przypadku $\int \frac{1}{x^2 + 1}$, a potem badamy $I_n = \int \frac{1}{x^2 + 1}$; mamy $I_1= \arctan(x)+C$ oraz $I_{n+1} = (1-\frac{1}{2n}) I_n + \frac{1}{2n}\frac{x}{(x^2+1)^n}$
4. Wzór na objętość bryły obrotowej. Rozważamy $f:[a,b]\to\RR^{\geq 0}$. Definiujemy $$A = \{(x,y,z): y^2+z^2 \leq f(x)^2\}~.$$ Wtedy
   $$ vol(A) = \pi \int_a^b f^2(x) dx~. $$
5. Objętość stożka: $$ V = \pi\int_{0}^{h} \left( \frac{r}{h} x\right)^2 dx = \ldots \frac13 \pi r^2 h $$
6. Objętość kuli: $$ V = \pi\int_{-r}^{r} \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2 dx = \ldots = \frac43 \pi r^3 $$
7. Objętość torusa o promieniu zewnętrznym $R$ i wewnętrznym $r$: $$ \begin{gather*} V = \pi\int_{-r}^{r} \left(\sqrt{r^2-x^2}+R\right)^2 dx - \pi\int_{-r}^{r} \left(-\sqrt{r^2-x^2}+R\right)^2 dx = \ldots = 2\pi^2 R r^2~. \end{gather*} $$
   

12.01.2016. Całkowanie

1. Tw. Długość łuku $\{(x,f(x)):x\in[a,b]\}$ dla funkcji $f \in C^{1}([a,b])$ wyraża się wzorem $$ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx $$
2. Przykład: Obwód okręgu promieniu r: $2\pi r$ (zastosowaliśmy ten wzór dla funkcji $f(x) = \sqrt{r^2-x^2}$).
3. Elementy geometrii elementarnej:
   1. Powierzchnia boczna stożka: $\pi r L$
   2. Powierzchnia wycinka stożka: $\pi(r_1+r_2)\sqrt{a^2 + (r_2-r_1)^2}$
4. Powierzchnia boczna bryły obrotowej wyznaczonej przez nieujemną funkcję $f\in C^1([a,b]): $$ S = 2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx $$
5. Przykład: Powierzchnia kuli promieniu r: $4\pi r^2$ (zastosowaliśmy ten wzór dla funkcji $f(x) = \sqrt{r^2-x^2}$).
6. Całkowanie funkcji zawierających wyrażenie $\sqrt{ax^2+b x + c}$
   1. Przez proste podstawienia sprowadzić możemy to zagadnienie do jednego z przypadków: $\sqrt{1-x^2}$, $\sqrt{x^2-1}$, $\sqrt{x^2+1}$
   2. Przypadki $\sqrt{1-x^2}$, $\sqrt{x^2-1}$ możemy rozwiązać za pomocą pierwszego podstawienia Eulera: $\sqrt{1-x^2} = (1-x)t$
   3. Przypadek $\sqrt{x^2+1}$ można rozwiązać za pomocą drugiego podstawienia Eulera: $\sqrt{x^2+1} = x + t$
7. Podstawienia te redukują problem do całkowania funkcji wymiernych.
8. Funkcje hiperboliczne:
   1. $\sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$
   2. $\cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$
   3. $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$
9. Podstawowe wzory:
   1. $\sinh'(x) = \cosh(x)$
   2. $\cosh'(x) = \sinh(x)$
   3. $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
10. Zaczęliśmy liczyć całką $\int \sqrt{x^2+1} dx$ stosując postawienie $x = \sinh(t)$: $$ \begin{gather*} \int \sqrt{x^2+1} dx = \int \sqrt{\sinh(t)^2+1} \cosh(t) dt = \\ \int \cosh^2(t) dt = \frac14 \int ( e^{2t}+2+e^{-2t} ) dt = \\ \frac14(\frac12 e^{2t} + 2t - \frac12 e^{-2t}) + C ~. \end{gather*} $$

17.01.2016. Szeregi

1. Def. Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem Cauchy'ego (podstawowym) jeśli $(\forall \epsilon>0)(\exists N)(\forall n,m\gt N)(|a_n-a_m| \lt \epsilon)$
2. Tw. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem podstawowym.
3. Pojęcie szeregu liczbowego
4. Tw. Jeśli $\sum_n a_n$ jest zbieżny, to $\lim_n a_n = 0$
5. Tw. Jeśli $\sum_n |a_n|$ jest zbieżny, to również $\sum_n a_n$ jest zbieżny
6. Kryterium Cauchy'ego: Jeśli $\limsup_n\sqrt[n]{|a_n|}\lt 1$ to szereg $\sum_n |a_n|$ jest zbieżny
7. Kryterium d' Alamberta: Jeśli $\limsup_n|\frac{a_{n+1}}{a_n}\lt 1$ to szereg $\sum_n |a_n|$ jest zbieżny
8. Przykłady: $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac12)^n = 2$, $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n} = \infty$, $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)} = 1$, $\sum_{n\geq 1}\frac{n!}{n^n} \lt \infty$.

24.01.2016. Szeregi - II

1. Tw. Jeśli $a_0\geq a_1\geq\ldots\geq 0$, to szereg $\sum_n a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg $\sum_n 2^n a_{2^n}$ jest zbieżny
2. Przykład: szereg $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n}$ jest rozbieżny, bo $\sum_n 2^n\frac{1}{2^n} = \sum_n 1 = \infty$.
3. Przykład: szereg $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^\alpha}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha>1$.
4. Funkcja dzeta Riemanna: $\zeta(x) = \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^x}$
5. Tw (o zbieżności szeregów naprzemiennych). Jeśli $a_0\geq a_1\geq\ldots\geq 0$ oraz $\lim_n a_n=0$ to szereg $\sum_n (-1)^n a_n$ jest zbieżny.
6. Przykład: Szereg $\sum_{n\geq 1} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ jest zbieżny (granicę tę wyznaczymy niebawem).
7. Szereg potęgowy o środku w punkcie $c$: $\sum_{n}a_n (x-c)^n$
8. Promień zbieżności: $R = \frac{1}{\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|}}$
9. Tw. Jeśli $|x|\lt R$ to szereg $\sum_n a_n x^n$ jest (bezwzględnie) zbieżny
10. Przykład: Dla $|x|\lt 1$ mamy $\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$
11. Przykład: $e^x = \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{n!}$; promień zbieżności: $+\infty$
12. Przykład: $e^{it} = \cos(t)+ i \cdot \sin(t)$
13. Wniosek: $e^{i\pi} +1 = 0$

26.01.2016. Szeregi potęgowe

1. Tw. Niech $R$ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego $\sum_{n}a_n x^n$. Wtedy funkcja $f(x) = \sum_{n}a_n x^n$ jest ciągła na odcinku $(-R,R)$
   Dowód. Ustalamy $x\in(-R,R)$. Ustalamy $r$ takie, że $|x| \lt r \lt R$. Rozważamy będziemy takie $\delta$, że $|x+\delta|\lt r$. Liczymy $$ |f(x+\delta)-f(x)| = |\sum_n(a_n((x+\delta)^n - x^n)| \leq \sum_n |a_n||(x+\delta)^n - x^n| $$ Z twierdzenia o wartości średniej zastosowanego do funkcji $h_n(x) = x^n$ znajdujemy takie $\theta_n\in(0,1)$, że $(x+\delta)^n - x^n = \delta n (x+\theta_n \delta)^{n-1}$. Mamy więc (uwaga: tu na wykładzie był błąd: zapomniałem potęgi $n-1$) $$ |f(x+\delta)-f(x)|\leq \sum_n |a_n| |\delta| |x+\theta_n)|^{n-1} \leq \sum_n |a_n| n |\delta| r^{n-1} $$ Zatem $$ |f(x+\delta)-f(x)|\leq |\delta| \sum_n |a_n| n r^{n-1} = \frac{\delta}{r} \sum_n n |a_n| r^{n}~. $$ Mamy (kluczowy moment) $\limsup \sqrt[n]{n \cdot|a_n|}$ = $\lim sqrt[n]{n} \limsup\sqrt[n]{|a_n|}$ = $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}$ (bo $\lim \sqrt[n]{n}=1$), więc szeregi potęgowe $\sum_n a_nx^n$ oraz $\sum_n n |a_n| x^n$ mają te same promienie zbieżności. Zatem ten drugi szereg jest zbieżny w punkcie $r$. Niech $C= \sum_n n |a_n| r^{n}$. Wtedy $$ |f(x+\delta)-f(x)|\leq \frac{\delta}{r} C~. $$ Jeśli więc $\delta\to 0$, to również $|f(x+\delta)-f(x)|\to 0$. Więc $f$ jest ciągła w punkcie $x$.
2. Tw. Niech $R$ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego $\sum_{n}a_n x^n$. Wtedy funkcja $f(x) = \sum_{n}a_n x^n$ jest różniczkowala na $(-R,R)$, oraz
   1. $f'(x) = \sum_{n\geq 1} n a_n x^{n-1}$
   2. szereg $\sum_{n\geq 1} n a_n x^{n-1}$ ma promień zbieżności $R$
3. Przykład: $(e^x)' = \ldots = e^x$;
4. Przykład $\frac{1}{(1-x)^2}$ = $\left(\frac{1}{1-x}\right)'$ = $\left(\sum_n x^n\right)'$ = $\sum_{n\geq 1}n x^{n-1}$ = $\sum_{n\geq 0}(n+1)x^n$.
5. Wniosek. Niech $R$ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego $\sum_{n}a_n x^n$. Wtedy funkcja $f(x) = \sum_{n}a_n x^n$ jest całkowalna na $(-R,R)$, oraz
   1. $\int f(x) dx = \sum_{n} \frac{1}{n+1} a_n x^{n+1} +C$
   2. szereg $\sum_{n} \frac{1}{n+1} a_n x^{n+1}$ ma promień zbieżności $R$
6. Przykład: $\ln\frac{1}{1-x} = \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n} x^n$ (scałkowaliśmy szereg $\frac{1}{1-x} = \sum_n x^n$).
7. Tw (Abel). Jeśli $f(x)= \sum_{n}a_n x^n$ ma promień zbieżności $R$ oraz szereg $\sum_{n}a_n R^n$ jest zbieżny (lub szereg $\sum_{n}a_n (-R)^n$ jest zbieżny) to $\lim_{x\to R-}f(x) = \sum_{n}a_n R^n|$ (lub $\lim_{x\to -R+}f(x) = \sum_{n}a_n (-R)^n|$)
8. Przykład: $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n} = \ln\frac12$

Szeregi

1. Tw. Jeśli $\sum_n|a_n|\lt \infty$ oraz $\pi$ jest dowolną permutacją liczb naturalych, to $\sum_n a_{\pi(n)} = \sum_n a_n$.
2. Def. Iloczynem Cauchy'ego szeregów $\sum_n a_n$ i $\sum_n b_n$ nazywamy szereg $\sum_n c_n$ o wyrazach $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$.

31.01.2016. Mnożenie szeregów

1. Tw. Jeśli szeregi $\sum_n a_n$ i $\sum_n b_n$ są zbieżne oraz jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny oraz $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ to $$ \sum_n c_n = \left(\sum_n a_n\right)\cdot \left(\sum_n a_n\right) $$
2. Przykład: $e^x e^y = \ldots = e^{x+y}$
3. Przykład: $\frac{1}{1-x} \ln\frac{1}{1-x} = \sum_{n\geq 1} H_n x^n$
4. Oszacowanie: $\ln(n+1) \leq H_n \leq \ln(n) +1$

Kilka technik całkowania

1. Dokończenie rachunków z dnia 12.01.2017: $\int\sqrt{1+x^2} dx$ = $\ldots$ = $\frac{1}{2} x \sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2} \ln \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+C$
2. Uniwersalne podstawienie trygonometryczne:
   1. $t= \tan(\frac{x}{2})$
   2. $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$
   3. $\cos(x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
   4. $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$
   Służy ono do przekształcenia funkcji w postaci $R(\sin(x),\cos(x))$, gdzie $R(x,y)$ jest funkcją wymierną do funkcji wymiernej postaci $Q(t)$.
3. Przykład: $\int \frac{1}{\sin(x)}dx = \ln\left(\tan(\frac{x}{2})\right)+C$