12.10.2016: Zbiory liczbowe

1. Oznaczenia:
   • $\RR$: liczby rzeczywiste,
   • $\QQ$: liczby wymierne,
   • $\ZZ$: liczby całkowite,
   • $\NN$: liczby naturalne $\{0,1,2,\ldots\}$ (uwaga: liczbę $0$ zaliczamy do zbioru liczb naturalnych)
2. Zasada Indukcji matemtycznej
3. Tw. $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
4. Tw. (Nierówność Bernoulliego)$(\forall x\gt -1)(\forall n\in\NN)((1+x)^n \geq 1+ nx)$
5. Podstawowe własności liczb rzeczywistych:
   • $(x+y)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot y + y^2$,
   • $(x+y)^3 = x^3 + 3\cdot x^2\cdot y +3\cdot x \cdot y^2 +y^3$.
6. Def: $0!=1$, $n! = 1\cdot 2 \cdots n$
7. Def. (Symbol dwumianowy Newtona) $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
8. Tw. (Tożsamość Pascala)$\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$
9. Trójkąt Pascala: [WIKI]
10. Wzór dwumianowy Newtona
    $$(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$$
    Zaczęliliśmy go dowodzić metodą indukcji matematycznej. Na razie mamy
    $$ (1+t)^{n+1} = \ldots = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^k + \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}t^k~. $$ Dokończymy to na następnym wykladzie.
Zadanie na weekend: nauczyć się alfabetu greckiego.

16.10.2016: Liczby rzeczywiste

1. Zakończenie dowodu wzoru dwumianowego.
2. Funkcja kwadratowa: $$ ax^2+bx+c = ... = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) $$
3. Nierówność Cauchy'ego: Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a_1,\ldots,a_n$, $b_1,\ldots,b_n$ mamy
   $$ \left|\sum_{k=1}^n a_k b_k\right| \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n (a_k)^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n (b_k)^2} $$
   Dowód: Rozważamy funkcję $f(x) = \sum_{k=1}^{n}(a_k - x\cdot b_k)^2$; sprawdzamy, że jest to funkcje kwadratowa; z tego, że $(\forall x)(f(x)\geq 0)$ wnioskujemy, że $\Delta\leq 0$, wyliczamy wyróżnik $\Delta$, upraszczamy i otrzymujemy tę nierówność.
4. Wartość bezwzględna i jej podstawowe własności: $|x+y| \leq |x| + |y|$
5. Def: $d(x,y) = |x-y|$
6. Tw. (Nierówność trójkąta) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$.
7. Pojęcie przetrzeni metrycznej $(X,d)$.
8. Def. $K(a,r) = \{x\in X: d(a,x) \lt r\}$; w liczbach rzeczywistych mamy $K(a,r) = (a-r,a+r)$.
9. Ograniczenie górne zbioru; ograniczenie dolne zbioru; pojęcie zbioru ograniczonego
10. Def. $g=\sup(A)$ jeśli $g$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru $A$.
11. Zasada Zupełności: Każdy ograniczony, niepusty podzbiór $\mathbb{R}$ ma supremum.
12. Przykład: $\sup(\{x\in\mathbb{Q}: 0\leq x \land x^2\leq 2\}) = \sqrt{2}$

19.10.2016: Ciągi - I

1. Tw. $\sup(\mathbb{N}) = \infty$
2. Wniosek: $\inf\{\frac{1}{n}: n\in\NN \land n>0\}=0$.

Ciągi i granice

1. Ciągami nazywamy funkcje $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$; stosujemy oznaczenie $a_n=a(n)$
2. Def: $\lim_{n\to\infty} a_n = g$ jeśli
   $$ (\forall \varepsilon>0)(\exists N)(\forall n\gt N)(|a_n - g| \lt \varepsilon) $$
3. Przykład: Jeśli $(\forall n \in\mathbb{N})(a_n = c)$ to $\lim_{n\to\infty} a_n = c$
4. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$
5. Tw. Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ i $\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ oraz to $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \alpha+\beta$.
6. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{n+1}$ = $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1}) = \ldots = 1$.
   Oto jak można zilustrować ten ciąg:
   
7. Tw. Załóżmy, że ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne. Wtedy
   1. $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} (a_n) + \lim_{n\to\infty} (b_n)$
   2. $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} (a_n) \cdot \lim_{n\to\infty} (b_n)$
   3. Jeśli $\lim_{n\to\infty} (b_n) \neq 0$ to $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n}$
   Uwaga: Na razie udowodniliśmy tylko punkt (1)
8. Tw. Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = g$ oraz $n_0\lt n_1 \lt n_2 \lt \ldots$, to $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = g$
9. Przykład: Ciąg $a_n = (-1)^n$ nie jest zbieżny.

26.10.2016

Ciągi - II

1. Tw. Jeśli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony
2. Tw. Jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny oraz $(\exists N)(\forall n\gt N)(b_n=a_n)$, to ciąg $(b_n)$ jest zbieżny i $\lim_n b_n = \lim_n a_n$.
3. Tw. Liczbę $g$ nazywamy punktem skupienia ciągu $(a_n)$ jeśli istnieje ciąg $n_0\lt n_1 \lt n_2 \lt \ldots$, taki, że $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = g$
4. Przykłady:
   • Zbiór punktów skupienia ciągu $a_n = (-1)^n$: $\{-1,1\}$
   • Zbiór punktów skupienia ciągu $a_n = 1 + (n \mod 3)$: $\{1,2,3\}$
   • Jest ciąg $(a_n)$, którego zbiorem punktów skupienia jest $[0,1]$
5. Def. $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ jeśli $(\forall C)(\exists N)(\forall n\gt N)(C\lt a_n)$
6. Def. $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ jeśli $(\forall C)(\exists N)(\forall n\gt N)(a_n \lt C)$
7. Zasady postępowania z nieskończonościami: $\infty+\infty = \infty$; $\infty\cdot \infty = \infty$; $c+\infty = \infty$; jeśli $c\gt 0$ to $c\cdot \infty = \infty$; jeśli $c\lt 0$ to $c\cdot \infty = -\infty$; $(-\infty)\cdot (-\infty) = \infty$;
   Uwaga: każdy z tych faktów należy odpowiednio zinterpretować; np. pierwszą własność interpretujemy następująco: jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ oraz $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$, to $\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \infty$.
8. Tw. Niech $a\in\mathbb{R}$ będzie ustaloną liczbą. Wtedy $$ \lim_{n\to\infty} a^n = \begin{cases} \infty &: a \gt 1 \\ 1 &: a=1 \\ 0 &: |a| \lt 1 \\ \mbox{nie istnieje} &: a\leq -1 \end{cases} $$
9. Tw. $\lim \sqrt[n]{n} = 1$
10. Tw (O trzech ciągach). Załóżmy, że $(\forall n)(a_n \leq b_n \leq c_n)$ oraz, że $\lim_{n\to\infty} a_n$ = $\lim_{n\to\infty} c_n = g$. Wtedy $\lim_{n\to\infty} b_n = g$.
11. Przykład: $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$:
    
12. Przykład. $\lim_n \sqrt[n]{2^n+3^n} = 3$

09.11.2016

Ciągi - c.d.

1. Def. Ciąg $(a_n)$ jest
   1. niemalejący (słabo rosnący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\leq a_{n+1})$
   2. rosnący (ostro rosnący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\lt a_{n+1})$
   3. nierosnący (słabo malejący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\geq a_{n+1})$
   4. malejący (ostro malejący) $\equiv$ $(\forall n)(a_n\gt a_{n+1})$
2. Tw. Jeśli ciąg $(a_n)$ jest niemalejący i ograniczony, to jest zbieżny i $\lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$.
3. Badamy ciąg $a_n = (1+\frac1n)^n$
   
   1. $(\forall n\geq 1)(a_n \lt a_{n+1})$
   2. Ciąg $(a_n)$ jest ograniczny z góry przez 3
   3. Ciąg $(a_n)$ jest więc zbieżny. Jego granicę oznaczamy przez $e = 2.718281828\ldots$ (stała Eulera), czyli $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e. $$
   4. $e = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (=$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}$)
4. Dokładniej: e = 2.718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 700 ...
5. Tw. (bez dowodu) Dla dowolnej liczby $a\in\mathbb{R}$ mamy $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} ~. $$
6. Tw. Zbiór liczb wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych
7. Tw. Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych
8. Twierdzenie Weierstrassa: Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny.
9. Def. Domknięciem zbioru $A\subseteq \RR$ nazywamy zbiór $\overline{A}$ złozony ze wszystkich takich liczb do których istnieje podciąg zbieżny elementów zbioru $A$
10. Przykłady: $\overline{(0,1)} = [0,1]$, $\overline{[0,1]\cap\QQ} = [0,1]$, $\overline{[0,1]\setminus\QQ} = [0,1]$
11. Def. Zbiór $A$ nazywamy domkniętym jeśli $\overline{A} = A$

13.11.2016: Funkcje ciągłe

1. Podstawowe informacje o nieskończonościch:
   • Definicja równoliczności:$|X|=|Y|$ jeśli istnieje funkcja $f:X\to Y$ któa jest różnowartościowa i "na"
   • Przykłady: $|\NN| = |2\cdot\NN|$, $|\NN| = |\ZZ|$, $|\NN|=|\QQ|$.
   • Tw (Cantor). $|\NN| \lt |\RR|$
2. Wykresy funkcji za pomocą wyszukiwarki Google: patrz Narzędzia On-Line
3. Def (Cauchy). Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$, $A\in a$. Mówimy, że $f$ jest ciągła w punkcie $a$ jeśli
   $$(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0)(\forall x)((x\in A \land d(x,a)\lt \delta) \to d(f(x),f(a))\lt\epsilon)$$
4. Przykłady: każda funkcja stała jest ciągła; funkcja $f(x) = x$ jest ciągła; funkcja $f(x)=2\cdot x$ jest ciągła
5. Def (Heine). Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$, $A\in a$. Mowimy, że $f$ jest ciągła w punkcie $a$ jeśli jeśli dla dowolnego ciągu $(a_n)$ elementów zbioru $A$ zbieżnego do $a$ mamy $\lim_{n\to\infty}f(a_n) = f(a)$.
6. Twierdzenie. Definicje Cauchy'ego i Heinego są równoważne
   Dowód: póżniej.
7. Wniosek: jeśli $f$, $g$ są ciągłe w $a$ to funkcje $f+g$ i $f\cdot g$ są ciągłe w $a$
8. Wniosek: jeśli $f$, $g$ są ciągłe w $a$ i $g(a)\neq 0$ to funkcja $\frac{f}{g}$jest ciągła w $a$
9. Def. Niech $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$. Mowimy, że funkcja $f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $a\in A$.
10. Wniosek: wielomiany są ciągłe
11. Wniosek: funkcje wymierne są ciągłe (na swojej dziedzinie).

16.11.2017. Ciągłość - 2

1. Tw. Definicje Heinego i Cauchy'ego ciągłości funkcji są równoważne.
2. Lemat. Zał, że $f$ jest ciągła w punkcie $a$ oraz, że $f(a)\gt 0$. Wtedy istnieje $\varepsilon\gt 0$ taki, że $(\forall x)(d(x,a)\lt \varepsilon \to f(x)>0)$
3. Tw (własność Darboux). Załóżmy, że $f$ jest ciągłą na $[a,b]$ oraz, że $f(a)\lt 0 \lt b$. Wtedy istnieje $c\in(a,b)$ takie, że $f(c)=0$.
4. Przykłady zastosowań (wycieczka z Karpacza na Śnieżkę)
5. Definicje $\lim_{x\to a-}f(x)$, $\lim_{x\to a+}f(x)$, $\lim_{x\to a}f(x)$, $\lim_{x\to \infty}f(x)$ itd. itp.
6. Przykłady
7. Tw. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

DiscretePlot[(1+1/n)^n,{n,1,100}]

23.11.2017: Funkcje ciągłe

1. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła oraz $f(a)\lt y\lt f(b)$ to istnieje $c\in(a,b)$ takie, że $f(c)=y$.
2. Tw. Jeśli $f$ jest ciągła na odcinku $I$ oraz różnowartościowa, to jest monotoniczna.
3. Jeśli $f:A\to B$ jest różnowartościowa oraz $B=\vec{f}(A)$, to $f^{-1}\circ f = Id_A$ oraz $ f\circ f^{-1} = Id_B$
4. Tw. Funkcja odwrotna do różnowartościowej funkcji ciągłe jest ciągła.
5. Przykłady: $y \sqrt{x}$ (x\geq 0), $y = \sqrt[3]{x}$, $y = \ln(x)
6. Tw. $\lim_{x\to 0} \sin(x) = 0$
7. Tw. $\lim_{x\to 0} \cos(x) = 1$
8. Wniosek: Funkcje $y=\sin(x)$, $y=cos(x)$ sa ciągłe.
9. Tw. (Weierstrass) Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła, to istnieje $c\in[a,b]$ takie, że $f(c) = \sup\{f(x):x\in [a,b]\}$.
   Skorzystaliśmy z tego, że każdy ograniczony ciąg ma podciąg zbieżny.
   
10. Wniosek. Jeśli $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła to $\{f(x):x\in[a,b]\} = [m,M]$, gdzie $m=\inf\{f(x):x\in [a,b]\}$ oraz $M = \sup\{f(x):x\in [a,b]\}$

27.11.2017: Różniczkowanie

1. Def. Niech $f:(a,b)\to\RR$ oraz $x\in (a,b)$. Wtedy
   $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}~.$$
2. Przyjrzyj się apletowi: Pochodna
3. Przykład: $(x^2)' = 2 x$
4. Przykład: Jeśli $n\in\NN$ to $(x^n)' = n x ^{n-1}$.
5. Tw 1. $(a f)'(x) = af'(x)$
6. Tw 2. $(f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)$
7. Przykład (ruch jednostajnie przyśpieszony): Jeśli $s(t) = \frac12 t^2 + v_0\cdot t + s_0$, to $s'(t) = a\cdot t + v_0$ oraz $s''(t) = a$
8. Obserwacja: Jeśli $f$ jest różniczkowana w punkcie $x$, to istnieje funkcja $\omega$ taka, że $\lim_{h\to 0}\omega(h) = 0$ oraz $$ f(x+h) = f(x) + f'(x)\cdot h + \omega(h)\cdot h~.$$
9. Wniosek: Jeśli $f$ jest różniczkowana w punkcie $x$ to jest ciągła w punkcie $x$
10. Def: $f'_+(x) = \lim_{h\to 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, $f'_-(x) = \lim_{h\to 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
11. Przykład: Funkcja $f(x) = |x|$ jest ciągła w $0$ ale nie jest różniczkowalna w $0$
12. Tw 3. $(f\cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$
13. Lemat. $(\frac{1}{g})'(x) = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}$
14. Tw 4. $(\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
15. Tw (Rolle'a) Załóżmy, że $f:[a,b]\to\RR$ jest ciągła, jest rożniczkowalna w każdym punkcie przedziału $(a,b)$ oraz, że $f(a) = f(b)=0$. Istnieje wtedy punkt $c\in(a,b)$ taki, że $f'(c)=0$.
    Dowód (szkic): Zauważyliśmy, że możemy założyć, że jest takie $x\in(a,b)$, że $f(x)\gt 0$. Następnie wzięliśmy takie $c\in(a,b)$, że $f(c) = \sup\{f(x):x\in[a,b]\}$ (skorzystaliśmy z twierdzenia Weierstrassa).

30.11.2017: Rachunek różniczkowy - cd.

1. Twierdzenie (O wartości średniej; Lagrange). Załóżmy, że $F:[a,b]\to\RR$ jest ciągła i różniczkowalna w $(a,b)$. Istnieje wtedy $c\in(a,b)$ takie, że
   $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) $$
2. Wniosek: Jeśli $f:(a,b)\to\RR$ oraz $(\forall x\in(a,b))(f'(x) = 0)$, to $f$ jest stała
3. Wniosek: Jeśli $f:\RR\to\RR$ jest taka, że $f''(x) \equiv a$, to $f(x) = \frac12 a x^2 + b x + c$ dla pewnych $b$ i $c$.
4. Tw. $\sin'(x) = \cos(x)$
5. Tw. $\cos'(x) = -\sin(x)$
6. Tw. $(e^x)' = e^x$
7. Wniosek. Jeśli $f'(x) = a f(x)$ dla każdego $x$, to $f(x) = C e^{ax}$ dla pewnego $C$.
   Uwaga: rozwiązaliśmy równanie różniczkowe $y'(t) = a y(t)$ !!!
8. Def. $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $c$ jeśli istnieje $\varepsilon \gt 0$ takie, że $(\forall x)(0\lt |x-c| \lt \varepsilon \to f(x)\lt f(c))$.
9. Def. $f$ ma minimum lokalne w punkcie $c$ jeśli istnieje $\varepsilon \gt 0$ takie, że $(\forall x)(0\lt|x-c| \lt \varepsilon \to f(x)\gt f(c))$.
10. Ekstremum lokalne $\equiv$ lokalne minimum lub lokalne maksimum.
11. Tw. Jeśli $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $c$ oraz jest różniczkowalna w punkcie $c$ to $f'(c)=0$
12. Wniosek: Jeśli $f:(a,b)\to\RR$ oraz $(\forall x\in(a,b))(f'(x) \gt 0)$, to $f$ jest rosnąca
13. Wniosek: Jeśli $f:(a,b)\to\RR$ oraz $(\forall x\in(a,b))(f'(x) \lt 0)$, to $f$ jest malejąca
14. Przykład: Szukamy punktu w którym funkcja $f(x) = ax^2+bx+c$ ($a \gt 0$) ma minimum: obliczmy $f'(x) = 2 a x+ b$; rozwiązujemy równanie $2ax + b=0$, czyli $2 a x = -b$; otrzymujemy znany ze szkoły wzór $x_0 = -\frac{b}{2 a}$.

07.12.2016. Badanie wykresu funkcji

1. Przykład: analiza przebiegu zmienności funkcji $f(x) = \frac{x}{(x-1)(x-2)}$
   
   
2. Przykład: analiza przebiegu zmienności funkcji $f(x) = x e^x$.
3. Tw. Jeśli $f:I\to\RR$ jest odwracalna i jest różniczkowalna w punkcie $a$, to funkcja $f^{-1}$ jest różniczkowalna w punkcie $b = f(a)$. Mamy: $$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}~. $$
4. Wniosek: $\ln'(x) = \frac{1}{x}$
5. Wniosek: dla dowolnego ustalonego $a$ mamy $(x^a)' = a\cdot x^{a-1}$
6. Wniosek: $\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
7. Wniosek: $\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
8. Wniosek: $\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
9. Definicja: Funkcją wektorową nazywamy dowolną funkcję $f:\RR\to\RR^n$.
10. Różniczkowanie funkcji wektorowej: jeśli $f(t) = (f_1(t),\ldots,f_n(t))$, to $f'(t) = (f_1'(t),\ldots,f_n'(t))$.
11. Interpretacja: $f'(t)$ = wektor prędkości w chwili $t$; ||f'(t)|| = wartość (długość) wektora prędkości
12. Przykład: funkcja $f(t) = (v_x t, -\frac12 g t^2 + v_y t)$ opisuje rzut ukośny. mamy $f'(t) = (v_x, -g t + v_y)$ oraz $f''(t) = (0,-g)$
13. Model Arystotelesa ruchu kuli armatniej:
    

11.12.2016. Różniczkowanie

1. Przykład: Rozważamy funkcję $f(t) = (r\cos(\omega t),r \sin(\omega t))$ ($r, \omega \gt 0$) - jest to model ruchu jednostajnego po okręgu o promieniu $r$ o częstotliwości $\omega$, czyli okresie $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Wtedy
   1. $X'(t)= (-r\omega\sin(x),r\omega\cos(\omega t))$, więc $||f'(t)|| = r\omega$.
   2. $\IS{X'(t)}{X(t)} = 0$, więc prędkość $X'(t)$ jest prostopadła do wektora $X(t)$
   3. $X''(t) = (-r\omega^2\cos(t), r\omega^2\sin(t))$ oraz $||f''(t)|| = r\omega^2$
2. Badanie funkcji: analiza przebiegi zmienności funkcji $f(x) = x^3+a\cdot x^2+b\cdot x +c$
3. Szukanie ekstremów funkcji różniczkowalnej $f$ na odcinku $[a,b]$: szukamy miejsc zerowych $f'(x)$ z odcinka $[a,b]$, badamy wartości funkcji $f$ w tych punktach, a na końcu patrzymy jeszcze na wartości $f(a)$ i $f(b)$
4. Metoda połowienia przedziału mająca na celu znalezienia zera funkcji $f$
5. Twierdzenie (O wartości średniej; Cauchy). Załóżmy, że $f,g:[a,b]\to\RR$ są ciągłe i różniczkowalne w $(a,b)$ oraz, że $g$ jest monotoniczna na $[a,b]$ Istnieje wtedy $c\in(a,b)$ takie, że
   $$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} $$
   Dowód (wskazówka): rozważamy funkcję $$ \phi(x) = (f(b)-f(a))g(x) - (g(b)-g(a))f(x) $$
6. Twierdzenie d'Hospitala: Załóżmy, że $a \in \RR \cup \{-\infty,\infty\}$ oraz, że $\lim_{x\to a} f(x)$ = $\lim_{x\to a} g(x)$ $\in$ $\{-\infty,0,\infty\}$. Wtedy, jeśli istnieje $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ to $$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}~. $$
7. Przykład: Dla dowolnego naturalnego $n\geq 1$ mamy $\lim_{x\to\infty} \frac{(\ln(x))^n}{x} = 0$

14.12.2017 Całka Riemana

1. Podział odcinka $[a,b]$: dowolny skończony ciąg punktów $a=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n=b$.
   Zbió wszystkich podziałów odcinka $[a,b]$ oznaczamy przez $\Sigma$
2. Def. Suma dolna dla podziału $\pi = (x_0,x_1,\ldots,x_n)$: $$ s(f,\pi) = \sum_{i=0}^{n-1} \inf\{f(t);t\in [x_{i},x_{i+1}]\} (x_{i+1}-x_i)$$
3. Def. Suma górna dla podziału $\pi = (x_0,x_1,\ldots,x_n)$: $$ S(f,\pi) = \sum_{i=0}^{n-1} \sup\{f(t);t\in [x_{i},x_{i+1}]\} (x_{i+1}-x_i)$$
4. Tw. Dla dowolnych podziałów $\sigma$ i $\pi$ mamy $s(f,\sigma) \le S(f,\pi)$.
5. Def. Całką dolną z funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$ nazywamy liczbę $$ l\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx = \sup\{ s(f,\pi) : \pi \in \Sigma\}~. $$
6. Def. Całką górną z funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$ nazywamy liczbę $$ u\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx = \inf S(f,\pi): \pi \in \Sigma\} $$
7. Def. Ograniczona funkcja $f$ jest CAŁKOWALNA na $[a,b]$ jeśli $$ l\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx = u\!\!-\!\!\int_{a}^{b} f dx $$ Jesli funkcja $f$ jest całkowalna na $[a,b]$ to dowolną z tych liczb nazywamy całką (Riemana) z funkcji $f$ i liczbę tę oznaczamy symbolem $\int_{a}^{b} f(x) dx$.
8. Wniosek. Załóżmy, że istnieje ciąg podziałów $(\sigma_n)_{n=1,2,\ldots}$ odcinka $[a,b]$ taki, że $$ (\forall \varepsilon \gt 0)(0 \leq S(f,\sigma_n) - s(f,\sigma_n) \lt \varepsilon)~. $$ Wtedy funkcja $f$ jest całkowalna na $[a,b]$ oraz $\int_{a}^{b} f = \lim_n s(f,\sigma_n)$.
9. Przykład: Jeśli $f(x) \equiv c$ to $\int_0^1 f = c$.
10. Przykład: Jeśli $f(x) = x$ to $\int_0^1 f = \frac12$.
11. Przykład: Jeśli $f(x) = x^2$ to $\int_{0}^{1} f = \frac13$. (koniecznie obejrzyj ten Aplet)

Zadanie 1. Niech $f(x) = x^3$. Oblicz samodzielnie $\int_{0}^{1} f$.
Wskazówka: skorzystaj ze wzoru $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

Zadanie 2. Niech $f(x) = x^2+1$. Oblicz samodzielnie $\int_{0}^{1} f$.

21.12.2017. Zasadnicze twierdzenie Rachunku Różniczkowego i Całkowego

1. Tw. Jeśli $a \lt b \lt c$ to $\int_{a}^{b}f(t)dt + \int_{b}^{c}f(t) dt$ = $\int_{a}^{c}f(t) dt$.
2. Def. Funkcja $f:A\to \RR$ jest jednostajnie ciągła na $A$ jeśli $$ (\forall \varepsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0)(\forall x,y\in A)(|x-y|\lt \delta \to |f(x)-f(y)| \lt \varepsilon) $$
3. Twierdzenie: Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, to jest jednostajnie ciągła na $[a,b]$.
4. Twierdzenie: Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, to istnieje całka $\int_a^b f$.
5. Przykład: funkcja $$ f(x) = \begin{cases} 1 & x\in[0,1]\cap\QQ\\ 0 & x \in [0,1]\setminus\QQ\end{cases} $$ nie jest całkowalna (całka dolna $l\!-\!\int_0^1 f = 0$, oraz całka górna $u\!-\!\int_0^1 f = 1$).
6. Tw. Jeśli $a \lt b \lt c$ to $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$
7. Tw(o wartości średniej). Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ to istnieje $c \in [a,b]$ takie, że $\int_a^b f = f(c)\cdot(b-a)$.
8. ZASADNICZE TWIERDZENIE RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO Załóżmy, że $f:\RR\to\RR$ jest ciągła. Niech $a\in \RR$. Wtedy
   $$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) $$
9. Def. Funkcja $G$ jest funkcją pierwotną funkcji $f$ jeśli $G'(x) = f(x)$ dla każdego $x$.
10. Twierdzenie. Załóżmy, że $G$ jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej $f$. Wtedy
    $$ \int_{a}^{b} f(t) dt = [G(x)]_a^b~, $$
    gdzie $[G(x)]_a^b = G(b)-G(a)$.
11. Wniosek: $\int_{0}^{1} x^2 dx = [\frac13 x^3]_0^1 = \frac{1}{3}$, bo $(\frac13 x^3)' = x^2$
12. Def. Całką nieoznaczoną $\int f(x) dx$ nazywamy klasę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji $f$
13. Przykład: Jeśli $a \neq -1$ to $\int x^a dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} + C$
14. Interpretacja całki jako praca
15. Praca w polu grawitacyjnym: $$ \int_{r_1}^{r_2} \frac{G M m}{r^2} dr = \ldots = G M m \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) $$

03.01.2018. Całkowanie

1. Przykład: $\int_{-r}^{r} \frac{1}{1+x^2} dx$ = $[\arctan(x)]_{-r}^{r}$ = $\arctan(r)-\arctan(-r)$
2. Przykład: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$ = $\lim_{r\to\infty}(\arctan(r)-\arctan(-r))$ = $\pi$
3. Przykład: $$ \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C_1 \cdot \mathbf{1}_{(-\infty,0)} + C_2 \cdot \mathbf{1}_{(0,\infty)} $$
4. Przykład: Praca w polu elektrycznym wokół nieskończonego, prostoliniowego, jednorodnie naładowanego przewodnika: $$ \int_{r_1}^{r_2} \frac{A}{r} dr = \ldots = A \cdot \ln(\frac{r_2}{r_1})~. $$
5. Ze wzoru $(fg)' = f'g + fg'$ wyprowadziliśmy wzór na całkowanie przez części:
   $$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$
6. Przykład: $\int x e^x dx$ = $\int x (e^x)' dx$ = $x e^x - \int (x)'e^x dx$ = $x e^x - \int e^x dx$ = $x e^x- e^x + C = e^x(x-1) + C$
7. Przykład: $\int \ln(x) dx$ = $\int \ln(x)(x)' dx$ = $x \ln(x) - \int \frac{1}{x}x dx$ = $ x \ln(x) - x + C = x(\ln(x)-1)+C$ = $x \ln(\frac{x}{e})+C$.
8. Przykład: $\int \cos(x^2) dx = \ldots = \frac12 \cdot x + \frac14\cdot \sin(2 x)$ + C
9. Ze wzoru $(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$ wyprowadziliśmy następujące twierdzenie (Twierdzenie o różniczkowaniu przez podstawienie)
   $$ \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du $$
   (założenia:$ g:[a,b]\to I$ jest klasy $C^1$ oraz $f:I\to\RR$ jest ciągła) oraz jego nieoznaczony wariant
   $$ \int f(g(x))g'(x) dx = \left[\int f(u) du\right]_{u=g(x)} $$
10. Przykład: $\int_0^1 (x+1)^{10}dx = \int_1^2 u^{10} du = \frac{1}{11}(2^{11} - 1)$ (podstawienie: $u = x+1$)
11. Przykład: $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$ $=_{x=sin(t)}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t) dt$ = $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt$ = $\ldots$ = $\frac{\pi}{2}$.
    !!!! HURA: Udało się nam odtworzyć to, co wiedzieli starożytni grecy !!!

04.01.2018. Całkowanie II

1. Całka logarytmiczna: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$
2. Przykład: $\int\frac{x}{1+x^2} dx = \frac12 \ln(1+x^2) + C$
3. Całkowanie funkcji wymiernych:
   1. Rozkład funkcji wymiernych na wielomian i ułamki proste
   2. Sprowadzenie zagadnienia do całkowanie funkcji typu $$ \frac{1}{(x-a)^n}, \quad, \frac{x}{(x^2+1)^n}, \quad \frac{x}{(x^2+1)^n} $$
   3. Analiza wszystkich tych trzech przypadków (trzeci rodzaj: wzór rekurencyjny)
4. Funkcje trygonometryczne: uniwersalne podstawienie $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$.
   1. $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
   2. $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$
   3. $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$
5. Przykład: $\int\frac{1}{\sin(x)} = \ln|\tan(\frac{x}{2})|+C$

08.01.2018 i 11.01.2018. Zastosowania całek.

Wykłady poprowadził prof. dr hab. Michał Morayne.

1. Wzór na długość łuku: $L = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$.
2. Przykład: Obwód okręgu promieniu r: $2\pi r$ (zastosowaliśmy ten wzór dla funkcji $f(x) = \sqrt{r^2-x^2}$).
3. Przykład: długość łuku paraboli: $L = \int_{0}^{1}\sqrt{1+(2x)^2}dx = \frac{1}{4} \left(2 \sqrt{5}+\sinh ^{-1}(2)\right)$
   Zastosowaliśmy podstawienie Eulera: $\sqrt{1+4 x^2} = 2 x + t$.
4. Wzór na objętość bryły obrotowej: $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
5. Wzór na objętość kuli o promieniu $r$: $V = \frac43 \pi r^3$
6. Wzór na powierzchnią boczną figury obrotowej: $S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx$.

18.01.2018 - Wzór Taylora

1. Powierzchnia sfery o promieniu $r$ (Archimedes): bierzemy $f(x) = \sqrt{r^2-x^2}$; liczmy $$ S = 2\pi \int_{-r}^{r} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx = \ldots = 4\pi r^2~. $$
2. FAKT: Jeśli $w(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$, to $a_k = \frac{f^{k}(0)}{k!} x^k$, czyli $$ w(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k~. $$
3. Twierdzenie McLauren'a: Jeśli $f$ jest $n+1$ razy różniczkowalna to $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1} $$ dla pewnego $\theta \in (0,1)$.
4. Zastosowanie wzoru McLauren'a do przybliżenia funckji $y=\sin(x)$ wielomianami:
   
5. Definicja: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} a_k$
6. Wniosek:
   $$ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $$ $$ \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$ $$ \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} $$
7. Wniosek: Jeśli $t\in\RR$ to
   $$ e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) $$
8. TWIERDZENIE TAYLORA: Załóżmy, że $f$ jest $n+1$ razy różniczkowalna. Wtedy
   $$ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \ldots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +R_n(x) $$ gdzie $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(a+\theta_x(x-a))}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} $$ dla pewnego $\theta_x \in (0,1)$.

18.01.2018 - Drugie pochodne

1. Tw. Załóżmy, że $f:I \to \RR$ jest klasy $C^2$, $a\in I$ oraz $f'(a)=0$.
   1. Jeśli $f''(a)\gt 0$ to $f$ ma lokalne minimum w punkcie $a$
   2. Jeśli $f''(a)\lt 0$ to $f$ ma lokalne maksimum w punkcie $a$
2. Pojęcie zbioru wypukłego, funkcji wypukłej i funkcji wklęsłej
3. Jeśli $f''(x) \gt 0$ dla $x \in I$ to $f$ jest wypukła na $I$.
4. Pojęcie punktu przegięcia funkcji
5. Nierówność Jensena
6. Nierówność między średnią geometryczną a atytmetyczną:
   $$ \sqrt[n]{x_1\cdot \cdots\cdot x_n} \leq \frac{x_1+\ldots+x_n}{n} $$