Powrót

Analiza matematyczna 2 (2019/2020)

Wykład odbywa się w czwartki w godz. 11:15 - 13:00 w sali 1.31/C-13.
Wykład przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku Inżynierii Biomedycznej WPPT PWr.

Materiały

Literatura podstawowa

1. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN
2. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN

Notatki

1. Wykład 12.03 Równania różniczkowe
2. Wykład 19.03 Szeregi
3. Wykład 26.03 Kryteria zbieżności szeregów
4. Wykład 02.04 Szeregi potęgowe
5. Wykład 16.04 Ciągi w przestrzeniach euklidesowych
6. Wykład 23.04 Ciągłość, pochodne cząstkowe
7. Wykład 30.04 Pochodna kierunkowa, różniczka zupełna, płaszczyzna styczna
8. Wykład 07.05 Wzór Taylora, ekstrema lokalne
9. Wykład 14.05 Ekstrema warunkowe, całka po prostokącie
10. Wykład 21.05 Obszary normalne, regularne; podstawowe zastosowania całek wielokrotnych
11. Wykład 28.05 Podstawienia w całkach wielokrotnych
12. Wykład 04.06 Zastosowania całek wielokrotnych
13. Wykład 10.06 Kolejne zastosowania całek wielokrotnych

Literatura pomocnicza

1. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 1, PWN
2. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 2, PWN
3. Ważniak - ekstrema funkcji wielu zmiennych
4. Ważniak - twierdzenie Fubiniego

Wskazówki do zadań

1. lista 3
2. lista 4
3. lista 5
4. lista 6
5. lista 7
6. lista 8

Zaliczenie kursu

15 czerwca o godz. 13:00 będzie sprawdzenie wiedzy. Odbędzie się w trybie online (każdy z prowadzących ćwiczenia przeprowadzi sprawdzenie dla swojej grupy ćwiczeniowej; osoby nie zapisane do żadnej z grup powinny skontaktować się z wykładowcą, będą wtedy pisały w jego grupie). Zadania będą przekazane za pomocą e-mail lub strony internetowej prowadzącego (szczegóły ustala prowadzący ćwiczenia). Będzie 5 zadań z następujących zagadnień:

1. Całki oznaczone i zastosowania
2. Równania różniczkowe
3. Szeregi i szeregi potęgowe
4. Pochodne cząstkowe i zastosowania
5. Całki wielokrotne i zastosowania

Zagadnienia mogą być zmodyfikowane przez prowadzącego ćwiczenia w porozumieniu ze studentami (jeśli przed ogłoszeniem powyższych zasad prowadzący ogłosił inny zakres wiedzy). Czas na nadesłanie rozwiązań (w formie zdjęć lub plików pdf z odręcznie napisanymi podpisanymi rozwiązaniami) to 1h 45min. Rozwiązania wykazujące nadmierne podobieństwo do innych nie będą akceptowane. W przypadku wątpliwości sprawdzającego co do samodzielności/poprawności rozwiązania zostanie przeprowadzona krótka rozmowa (przy użyciu zoom lub microsoft teams w terminie ustalonym ze studentem) w celu weryfikacji oceny.
Każde zadanie będzie warte 4 pkt. Razem do zdobycia 20 pkt. Liczba punktów ze sprawdzenia wiedzy będzie odpowiednikiem liczby punktów z kolokwium (w normalnym trybie). Ponadto sprawdzenie wiedzy będzie stanowiło (zerowy) termin egzaminu. Zmodyfikowana punktacja poniżej.

Ćwiczenia

Na ćwiczeniach odbędzie się 1 kolokwium. Za kolokwium będzie można uzyskać 20 pkt. Kolokwium odbędzie się na przedostatnich ćwiczeniach.
Dodatkowo za aktywność można zdobyć 10 pkt (1 plus = 1 pkt). Plusa można otrzymać za rozwiązanie jednego zadania przy tablicy (nie wolno używać żadnych pomocy, w szczególności niedopuszczalne jest przepisywanie rozwiązania z kartki czy zeszytu).
Suma zdobytych punktów decyduje o ocenie z ćwiczeń zgodnie z poniższą tabelą:

Punkty	Ocena
0-12	2.0
13-15	3.0
16-18	3.5
19-21	4.0
22-24	4.5
25-27	5.0
28-30	5.5

Egzamin

Egzamin odbędzie się 22 czerwca 2020 o godz. 15:00 w salach 322/A-1 i 314/A-1 w trybie online.
Na egzamin proszę przynieść 6 kartek A4 (każde z 6 zadań trzeba oddać na osobnej kartce). Nie wolno używać kalkulatorów ani telefonów komórkowych i tym podobnych urządzeń. Sposób przeprowadzenia egzaminu będzie analogiczny jak sprawdzenia wiedzy. Zadania zostaną przekazane studentom przez wykładowcę.
Egzamin poprawkowy odbędzie się 29 czerwca 2020 o godz. 15:00 w sali 314/A-1 w trybie online.
Suma zdobytych punktów decyduje o ocenie z egzaminu zgodnie z poniższą tabelą:

Punkty	Ocena
0-8 0-6	2.0
9-11 7-9	3.0
12-13 10-11	3.5
14-15 12-13	4.0
16-18 14-15	4.5
19-21 16-18	5.0
22-24 19-20	5.5

Zrealizowany materiał

1. Całka oznaczona
1. Definicja
2. Sumy górne i dolne Darboux
3. Funkcje ciągłe są całkowalne
4. $\displaystyle\int_a^b \!\!f(x)\, dx=\int_a^c \!\! f(x)\, dx+\int_c^b\!\! f(x)\, dx$
5. Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i $\displaystyle\int\!\! f(x)\, dx= F(x)+C$, to $\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)\, dx=F(b)-F(a)$
6. Całkowanie przez części: $\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^b\!\! f'(x)g(x)\,dx$
7. Całkowanie przez podstawianie: Niech $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą, $\varphi:[a,b]\to[\alpha, \beta]$ będzie funkcją o ciągłej pochodnej oraz $\varphi(a)=\alpha,\;\varphi(b)=\beta$; wtedy $\displaystyle\int_a^b\!\! F(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_\alpha^\beta\!\! F(t)\,dt$
8. Zastosowania całek
1. Pole: niech $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ będą funkcjami ciągłymi oraz $\forall x\in [a,b]\; f(x)\ge g(x)$; wtedy pole $P$ ograniczone wykresami funkcji $f,\, g$ oraz prostymi $x=a,\; x=b$ wyraża się wzorem $P=\displaystyle\int_a^b\!\! (f(x)-g(x))\,dx$
2. Długość krzywej
1. Jeśli $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ma ciągłą pochodną, to długość krzywej $l=\{(x,f(x)):\; x\in [a,b]\}$ wyraża się wzorem $|l|=\displaystyle\int_a^b\!\! \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
2. Jeśli $x,y:[a,b]\to \mathbb{R}$ mają ciągłe pochodne, to długość krzywej $l=\{(x(t),y(t)):\; t\in [a,b]\}$ wyraża się wzorem $|l|=\displaystyle\int_a^b\!\! \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt$
3. Objętość: jeśli $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ jest ciągła, to objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji $f$ wokół osi $OX$ wyraża się wzorem $|V|=\pi\displaystyle\int_a^b\!\! (f(x))^2\,dx$
4. Pole powierzchni: jeśli $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ma ciągłą pochodną, to pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji $f$ wokół osi $OX$ wyraża się wzorem $|P|=2\pi\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
9. Równania różniczkowe zwyczajne
1. Równanie różniczkowe, warunek początkowy, zagadnienie początkowe
2. Równania o rozdzielonych zmiennych
3. Równania liniowe jednorodne i niejednorodne
10. Szeregi
1. Sumy częściowe
2. Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych
3. Warunek konieczny zbieżności szeregów
4. Warunek Cauchy'ego
5. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów
6. Szereg harmoniczny i uogólniony szereg harmoniczny
7. Kryterium d'Alamberta
8. Kryterium Cauchy'ego
9. Kryterium ilorazowe
10. Liczba e jako suma szeregu
11. Szeregi potęgowe
1. Przykłady
2. Promień zbieżności, twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda
3. Różniczkowanie szeregów
4. Szereg Taylora, Maclaurina
12. Funkcje wielu zmiennych
1. Odległość (metryka) w $\mathbb{R}^n$
2. Nierówność Minkowskiego $\displaystyle \sqrt{\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)^2}\le \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2}$
3. Nierówność Cauchyego-Schwarza $\displaystyle \left(\sum_{k=1}^n a_k b_k\right)^2\le \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)$
4. Zbieżność ciągów w $\mathbb{R}^n$
5. Granica funkcji $\displaystyle \lim_{\bar{x}\to\bar{a}}f(\bar{x})=\bar{b}$ dla $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$
6. Ciągłość funkcji $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$
7. Przykłady funkcji ciągłych
8. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
9. Pochodne cząstkowe
10. Pochodne wyższych rzędów
11. Twierdzenie Schwarza $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}f$
12. Pochodna kierunkowa
13. Równanie płaszczyzny stycznej
14. Różniczka zupełna
15. Hesjan
16. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych
17. Ekstrema lokalne
1. Warunek konieczny
2. Warunek dostateczny
18. Ekstrema warunkowe, mnożniki Lagrange'a
13. Całki wielokrotne
1. Definicja całki po prostokącie
2. Dla ciągłej $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$ całka $\int\int_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y) dxdy$ istnieje
3. Zamiana na całkę podwójną
4. Obszary normalne, regularne
5. Całkowanie po obszarach normalnych
6. Całki potrójne
7. Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych
1. Współrzędne biegunowe
2. Współrzędne walcowe
3. Współrzędne sferyczne
8. Zastosowania całek wielokrotnych
9. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

Powrót